[論文レビュー] D\\'ecompositions en hauteurs locales

Fabien Pazuki|arXiv (Cornell University)|May 21, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、数体上の超楕円曲線のヤコビアンのFaltings高さおよびその有理点のNéron-Tate高さについて、Moret-Baillyモデルとモジュラー形式から導かれる局所的成分を用いた分解公式を提示する。主な結果は、1986年にSilvermanが楕円曲線に対して得た公式を高次元へ一般化し、グローバルな高さと有限および非アーチメデス層における局所的不変量との明確な関係を確立する。

ABSTRACT

Let A be the jacobian variety of a hyperelliptic curve defined over a number field k. We provide a decomposition formula for the Faltings height of A and for the N\\'eron-Tate height of k-rational points on A. We formulate a question of Bogomolov type on the space of principally polarized abelian varieties of dimension g.

研究の動機と目的

• 楕円曲線のFaltings高さに関するSilvermanの局所的分解公式を、特に超楕円曲線のヤコビアンである高次元アーベル多様体へ拡張すること。
• このようなヤコビアン上の有理点のNéron-Tate高さについて、明示的な局所的高さ公式を提供すること。
• グローバルな高さと局所的不変量（非アーチメデス層およびアーチメデス層）との関係を、判別式とモジュラー形式を用いて確立すること。
• principally polarized abelian varieties のモジュライ空間 $\mathcal{A}_g$ におけるBogomolov型の問題を提起すること。
• Moret-Baillyモデルと標準的メトリクスを用いて、算術幾何における高さの上限を改善すること。

提案手法

• Moret-Baillyモデル（MBモデル）を用いて、アーベル多様体上のグローバル高さの局所的成分を定義・計算する。
• 対称的で十分な正則線束に関連するラインバンドルを介して、Néron-Tate高さにおける標準的メトリクスを適用する。
• Faltings高さ $h_{\mathrm{F}^+}(A)$ を $M_k$ の各場所 $v$ における和に分解し、有限場所では判別式、アーチメデス場所ではモジュラー $\Delta$-関数による寄与を含む。
• 超楕円曲線の判別式 $\Delta_E$ と、アーチメデス場所におけるモジュラー形式 $\Delta(\tau_v)$ の関係を用いる。
• theta 特性の理論とMumfordモデルを用いて、局所的高さ寄与を定義する。
• 正値性と古典的高さ理論との整合性を保証するため、公式 $h_{\mathrm{F}^+}(A) = \frac{g}{2}\log(2\pi^2) + h_F(A)$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体の各場所における超楕円曲線のヤコビアンのFaltings高さを、局所的寄与に分解できるか？
• RQ2 このようなヤコビアン上の $k$-有理点のNéron-Tate高さについて、明示的な局所的公式を提示できるか？
• RQ3 高さの局所的成分（アーチメデス層および有限場所）は、判別式やモジュラー形式といった古典的不変量とどのように関係するか？
• RQ4 Moret-Baillyモデルの文脈において、グローバル高さと局所的不変量の関係は何か？
• RQ5 これらの高さ分解に基づいて、モジュライ空間 $\mathcal{A}_g$ におけるBogomolov型の問題を提起できるか？

主な発見

• 超楕円曲線のヤコビアンのFaltings高さに関する分解公式が確立された：$h_{\mathrm{F}^+}(A) = \frac{1}{12d} \left[ \log N_{k/\mathbb{Q}}(\Delta_E) - \sum_{v \in M_k^\infty} d_v \log \left| \Delta(\tau_v) (2\operatorname{Im} \tau_v)^6 \right| \right] + \text{補正項}$、これはSilvermanの1986年結果を一般化する。
• 有理点のNéron-Tate高さが局所的寄与に分解されることを示し、アーチメデス部分は関数 $I(A_v, \lambda_v)$ に依存し、有限部分は判別式に関連している。
• $g=1$ の場合に古典的楕円曲線のケースに一致し、既知の結果と整合性が確認される。
• Moret-Baillyモデルの使用により、特に有限場所における局所的高さ成分の明示的計算が可能になる。
• 本稿は、有理点 $P$ について $\hat{h}(P) - h(P)$ の推定に向けたフレームワークを提供し、ManinとZarhin（1972年）の結果を改善する。
• モジュライ空間 $\mathcal{A}_g$ におけるBogomolov型の問題を提起し、Néron-Tate高さの下で小点がモジュライ空間に稠密であるかどうかを問う。