[論文レビュー] Déformations isospectrales non compactes et théorie quantique des champs

Victor Gayral|Jul 21, 2005

Advanced Operator Algebra Research被引用数 3

ひとこと要約

本学位論文は非可換幾何学における非コンパクトな等スペクトル変形を展開し、コンヌのスペクトル三重項枠組みを非単位的代数へと拡張し、モーヤル平面への応用を試みる。非コンパクトな設定におけるディクシエ・トレースの計算を確立し、非可換場の理論におけるUV/IR混合を証明するとともに、変形下でもスペクトル不変量が不変のままであることを示し、非可換時空間における量子場理論の厳密な非摂動的枠組みを提供する。

ABSTRACT

The aim of this thesis is to study the isopectral deformations from the point of view of Alain Connes' noncommutative geometry. This class of quantum spaces constituts a curved space generalisation of Moyal planes and noncommutative tori. First of all, we look at the construction of non-unital spectral triples, for which we propose modified axioms. We then check that Moyal planes fit into this axiomatic framework, and give the keypoints for the construction of non-unital spectral triples from generic non-compact isospectral deformations. To this end, numerous analytical tools on non-compact Riemannian manifolds are developped. Thanks to Dixmier traces computations, we show that their spectral and classical dimensions coincide. In a second time, we study certain features of quantum fields theory on curved isospectral deformations, with a particular view on the ultraviolet infrared mixing phenomenon. We show its intrinsic nature for all such quantum spaces (compacts or not, periodic or not deformations), and we study its consequences on the renormalisability. In particular, the behaviour of Green functions of the planar and non-planar sectors is understood in term of on- and off-diagonal heat kernel contributions. We also see new or inner manifestations of the UV/IR mixing, related to the geometric properties of those quantum spaces and to the arithmetic nature of the deformation parameters.

研究の動機と目的

• 量子場理論に関連する非単位的・非コンパクト幾何に、コンヌのスペクトル三重項形式を拡張すること。
• 非コンパクト・非単位的モーヤル平面における熱核およびディクシエ・トレースの振る舞いを分析すること。
• 等スペクトル変形上の非可換場の理論におけるUV/IR混合を調査すること。
• 非コンパクトな等スペクトル変形下でのスペクトル不変量の不変性を確立すること。
• スペクトル幾何を用いて、非可換量子場理論の数学的基盤を厳密に構築すること。

提案手法

• コンネス＝ランディおよびコンネス＝デュボア＝ヴィオレットの等スペクトル変形の構成を、非コンパクト・非単位的状況へと適応する。
• ヒルベルト空間技法を用いて、変形されたモーヤル積およびそのスペクトル的性質を分析する。
• ディクシエ・トレースおよび弱シュターンクラス理論を用いて、非コンパクト幾何におけるスペクトル不変量を計算する。
• モーヤル平面における非単位的スぺクトル三重項に、作用スぺクトル関数を適用する。
• 等スペクトル変形上の非可換φ⁴理論における有効作用およびループ寄与を分析する。
• 非平面的フェニマン図の発散を制御するため、非コンパクト状況においてディオファントス条件を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル三重項は、非単位的・非コンパクトな非可換幾何にどのように一般化できるか？
• RQ2 非コンパクトなモーヤル平面における熱核およびディクシエ・トレースの振る舞いはいかなるものか？
• RQ3 非コンパクトな等スペクトル変形におけるモーヤル空間では、UV/IR混合が継続するか？
• RQ4 非コンパクトな等スペクトル変形下でのスペクトル不変量は、どのように変化するか？
• RQ5 非単位的・非コンパクトな状況において、作用スぺクトル関数を一貫して定義・計算できるか？

主な発見

• 非コンパクトなモーヤル平面においてディクシエ・トレースが適切に定義され、計算可能であり、等スペクトル変形のスペクトル不変性がコンパクトな場合を越えて拡張された。
• 非コンパクトな等スペクトル変形上の非可換φ⁴理論においてUV/IR混合が生じることを示し、より広い幾何的設定において、以前の結果を確認した。
• 非コンパクトな状況における有効作用の非平面的寄与は、変形パラメータθに関するディオファントス条件によって制御される。
• スぺクトル三重項枠組みが非単位的代数へと成功裏に一般化され、スぺクトルデータによる非コンパクト非可換空間の記述が可能になった。
• 非コンパクト状況におけるモーヤル平面において、作用スぺクトル関数が有限の結果をもたらし、量子場理論におけるその有用性を裏付けた。
• 弱シュターンクラスにおける熱核のトレースクラス性が確立され、非コンパクト幾何における厳密なトレース計算が可能になった。