[論文レビュー] d-gonality of modular curves and bounding torsions

Khac Viet Nguyen, Masa-Hiko Saito|ArXiv.org|Mar 29, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、モジュラー曲線 $ X_0(N) $ の $ d $-ゴノリティに従って、そのレベル $ N $ の上界を確立する。これは、Ogg の双曲的曲線（$ d=2 $）に関する結果を一般化したものである。キャステルヌーヴォ–セヴィリの不等式と良い還元の議論を用いて、$ X_0(N) $ が $ d $-ゴノリティであるとき、$ d \geq 3 $ に対して $ N \leq (48(d-1)^2 + 35)(36(d-1)^2 + 47) $ を示し、強い一様有界性予想の関数体版を確立する。これにより、モーデル・ヴェイユ群における torsion が $ d $ によって一様に有界であることが示される。

ABSTRACT

We study the problem of $d$-gonality of the modular curve $X_0(N)$. As a result, we can give an upperbound of the level $N$ by means of $d$. This generalizes Ogg's result on hyperelliptic modular curves ($d = 2$). As a corollary of this result, we prove an analogue of the strong Uniform Boundedness Conjecture for elliptic curves defined over the function fields of curves. If a base curve is $d$-gonal, we can bound orders of torsions of Mordell-Weil groups in terms of $d$ uniformly.

研究の動機と目的

• モジュラー曲線 $ X_0(N) $ のレベル $ N $ をその $ d $-ゴノリティの観点から評価する問題に取り組む。
• Ogg の双曲的モジュラー曲線（$ d=2 $）の分類結果を、より高い $ d $ へ一般化し、$ N $ に対する一様な上界を与える。
• 強い一様有界性予想の関数体版を確立し、基底曲線が $ d $-ゴノリティである場合、モーデル・ヴェイユ群における torsion が $ d $ によって一様に有界であることを示す。
• 良い還元やネロンモデルを含む算術幾何の技法を用いて、$ d $-ゴノリティと torsion 有界性の関係を確立する。
• $ d $-ゴノリティ関数体上でのモーデル・ヴェイユ群の有限アーベル群として現れる torsion 部分群の集合が有限であることを示す。

提案手法

• キャステルヌーヴォ–セヴィリの不等式を適用し、有限準同型を介して $ X_0(N) $ の $ d $-ゴノリティと中間曲線の genus を関係付ける。
• 塔の定理を用いて、$ g(C') \leq (d/d' - 1)^2 $ を満たす、$ X_0(N)_{\mathbb{Q}} \to C' $ のような、次数 $ d' \leq d $ の有限準同型 $ f $ を構成する。
• 素数 $ p \nmid N $ における良い還元を用いて、特徴が正の体への準同型の持ち上げを行い、$ \mathbb{F}_{p^2} $ 上の有理点に関するワイエルの不等式を適用する。
• ジャコビアンのネロンモデルの特別ファイバーを分析し、曲線の還元が高々1つの非有理成分しか持たないことを示す。
• 平坦性および双有理幾何の技法、特に吹き上げと正規化像を用いて特異点を解消し、準同型構造を保つ。
• ネロンモデルの最小性と双対グラフにおけるサイクルの不在を用いて、特別ファイバーが唯一の非有理成分を持つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた $ d $ に対して、モジュラー曲線 $ X_0(N) $ が $ d $-ゴノリティであるような最大のレベル $ N $ は何か？
• RQ2 Ogg の双曲的モジュラー曲線（$ d=2 $）に関する結果を、より高い $ d $ へどのように一般化できるか？
• RQ3 モーデル・ヴェイユ群における torsion が $ d $-ゴノリティによって一様に有界であるという、強い一様有界性予想の関数体版を確立できるか？
• RQ4 良い還元とネロンモデルの文脈において、$ X_0(N) $ の $ d $-ゴノリティから生じる幾何学的・算術的制約は何か？
• RQ5 ジャコビアンのネロンモデルの特別ファイバーの構造は、可能な $ d $-ゴノリティ準同型にどのような制約を与えるか？
• RQ6 追加の算術的制約を用いて、$ N $ が奇数の場合に $ N $ の上限を改善できるか？

主な発見

• もし $ X_0(N) $ が $ d $-ゴノリティであれば、$ d = 1 $ のとき $ N \leq 25 $、$ d = 2 $ のとき $ N \leq 71 $、$ d \geq 3 $ のとき $ N \leq (48(d-1)^2 + 35)(36(d-1)^2 + 47) $ が成り立ち、$ d $ による一様な上界を与える。
• $ d \geq 3 $ のときの上限は、キャステルヌーヴォ–セヴィリの不等式と有限体上の有理点に関するワイエルの不等式を用いて導出される。
• $ d \geq 3 $ のとき、上限は概ね $ O(d^4) $ のオーダーで増加し、モジュラー曲線上の $ d $-ゴノリティ構造の複雑さを反映している。
• 本稿では、$ d $-ゴノリティ関数体上での非定数楕円曲線のモーデル・ヴェイユ群における torsion 部分群として現れる有限アーベル群の集合 $ \Phi_{\text{fun}}(d) $ が有限であることを証明する。
• 基底が $ d $-ゴノリティである関数体 $ K = \mathbb{C}(C) $ 上の楕円曲線は、定理 0.2 の不等式の右辺、すなわち $ B(d) $ によって torsion の位数が有界される。
• 証明は、$ \leq d $ の次数の有限準同型 $ X_0(N) \to C' $ と、$ p \nmid N $ における $ C' $ の良い還元の存在に依拠しており、これにより点数制約が導かれる。