[論文レビュー] d-independence and d-bases in vector lattices

Y. A. Abramovich, Arkady Kitover|ArXiv.org|Mar 26, 1999

Advanced Algebra and Logic参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意のベクトルラティスにおけるd-独立性の新しい概念を導入し、投影バンドに依存する従来の依存関係を克服するとともに、普遍的に適用可能なd-基底の再定義を確立している。一般の条件下で、ベクトルラティスはd-基底を単一要素から成るか、無限大のd-基底を有するかのいずれかであることが示され、関数解析学およびベクトルラティス理論におけるd-基底の適用範囲が顕著に拡張された。

ABSTRACT

This article contains the results of two types. First we give a complete characterization of band preserving projection operators on Dedekind complete vector lattices. This is done in Theorem~3.4. Let us mention also Theorem~3.2 that contains a description of such operators on arbitrary laterally complete vector lattices. The central role in these descriptions is played by d-bases, one of two principal tools utilized in our work [{\it Inverses of Disjointness Preserving Operators}, Memoirs of the Amer. Math. Soc., forthcoming]. The concept of a d-basis has been applied so far only to vector lattices with a large amount of projection bands. The absence of the projection bands has been the major obstacle for extending, otherwise very useful concept of d-bases, to arbitrary vector lattices. In Section~4 we overcome this obstacle by finding a new way to introduce d-independence in an arbitrary vector lattice. This allows us to produce a new definition of a d-basis which is free of the existence of projection bands. We illustrate this by proving several results devoted to cardinality of d-bases. Theorems~4.13 and~4.15 are the main of them and they assert that, under very general conditions, a vector lattice either has a singleton d-basis of else this d-basis must be infinite.

研究の動機と目的

• d-基底の限界を克服すること。これは、従来、ベクトルラティスに投影バンドが存在することを前提としていたためである。
• 投影バンドの存在に依存しない、d-独立性の新しい内在的定義を構築すること。
• 投影バンドが豊富に存在するラティスに限らない、任意のベクトルラティスへのd-基底理論の一般化を図ること。
• Dedekind完備および後続的に完備なベクトルラティスにおけるバンド保存型射影作用素の特徴付けをすること。
• d-基底の濃度を調査し、そのサイズに関する構造的制約を確立すること。

提案手法

• 任意のベクトルラティスにおけるd-独立性を、投影バンドとは独立した新たな代数的条件として導入する。
• 新しいd-独立性の概念を用いてd-基底を定義し、一般のベクトルラティスへの適用を可能にする。
• 先行研究から得られた、非共役保存作用素およびその逆作用素の理論を応用する。
• ラティス論理的技法を用いて、Dedekind完備および後続的に完備なベクトルラティスにおけるバンド保存型作用素を分析する。
• ベクトルラティスの構造的結果を用いて、d-基底の濃度制約を導出する。
• ラティス順序付きベクトル空間の議論を通じて、d-基底の存在およびサイズに関する定理を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 投影バンドを欠くベクトルラティスにおいてもd-基底を定義可能か？
• RQ2 一般のベクトルラティスにおけるd-基底の濃度はいかほどか？
• RQ3 Dedekind完備なベクトルラティスにおけるバンド保存型射影作用素は、どのように特徴付けられるか？
• RQ4 d-基底が単一要素または無限大であることを保証する条件は何か？
• RQ5 d-独立性は、豊富な投影バンドを持つラティスに限らないd-基底理論の一般化において、果たす役割は何か？

主な発見

• 投影バンドの存在を要件としない、d-独立性の新しい定義が導入された。
• 新しいd-独立性フレームワークを用いて、d-基底の概念が任意のベクトルラティスへ一般化された。
• 定理4.13は、ベクトルラティスがd-基底を有する場合、それが単一要素から成るか、無限大であることを示している。
• 定理4.15は、一般の条件下で、ベクトルラティスが単一要素d-基底を有するか、あるいはd-基底が無限大でなければならないことを確認している。
• Dedekind完備なベクトルラティスにおけるバンド保存型射影作用素は、d-基底を用いて完全に特徴付けられた。
• これらの結果により、d-基底の適用範囲が、豊富な投影バンドを持つラティスに限らないすべてのベクトルラティスへ拡張された。