[論文レビュー] D-modules generated by rational powers of holomorphic functions

Morihiko Saito|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、正則関数の有理数乗によって生成されるDモジュールの構造を調査し、ベルンシュタイン＝サト polynomial の根が、このようなDモジュール間の非自明な差に常に寄与するかどうかに焦点を当てる。V-フィルトレーションとガウス＝マンシン接続を用いて、ベルンシュタイン＝サト polynomial の根が常にそのような差に寄与するとは限らないことを証明し、非半単純なモノドロミーを持つ反例を構成する。これは、ミルナーのモノドロミーと、ブリースコルン格子上のガウス＝マンシン接続の留数の指数関数との関係に関する古くからの未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We prove some sufficient conditions in order that a root of the Bernstein-Sato polynomial contributes to a difference between certain D-modules generated by rational powers of a holomorphic function; for instance, this holds in the case of isolated singularities with semisimple Milnor monodromies. We then construct an example where a root does not contribute to a difference. This also solves an old open problem about the relation between the Milnor monodromy and the exponential of the residue of the Gauss-Manin connection on the saturation of the Brieskorn lattice. This shows that the structure of Brieskorn lattices can be more complicated than one might imagine.

研究の動機と目的

• ベルンシュタイン＝サト多項式の根が、正則関数の有理数乗によって生成されるDモジュールの間の非自明な差に対応する条件を特定すること。
• ミルナーのモノドロミーと、飽和ブリースコルン格子上のガウス＝マンシン接続の留数の指数関数との関係を明確にすること。
• ベルンシュタイン＝サト多項式の根がその差に寄与しない反例を構成することで、ブリースコルン格子の構造的単純性の仮定に疑問を呈すること。
• Dモジュールに関連する各階数のV-フィルトレーション、G-フィルトレーション、およびノルム作用素Nの作用の相互作用を分析すること。

提案手法

• カシワラとマールグランジュのV-フィルトレーションを用いて、Dモジュール $M_f = (i_f)_*^{ ext{D}}\text{O}_X$ を階数付き部分 $\mathrm{Gr}_V^\alpha M_f$ に分解する。
• $M_f^\beta = \mathrm{Gr}_V^\beta M_f$ にG-フィルトレーションを適用し、 $\mathcal{D}_X f^{-\alpha} / \mathcal{D}_X f^{-\alpha+1}$ の構造を、 $M_f^\beta / N M_f^\beta$ の階数付き部分と関連付ける。
• $\beta = 1$ の場合、近傍サイクルから消失サイクルへの移行に対応するため、修正されたDモジュール $\widetilde{M}_f^\beta$ を導入する。
• ガウス＝マンシン接続と $M_f^\beta$ 上での $N = -\partial_t t + \beta$ の作用を用いて、モノドロミーのジョルダン標準形を分析する。
• 重み付き同次関数 $f_u = x^{2a} + y^{2a} - x^{2b}y^{2b} + z^c - u x^{a+b-1}y^{b-1}z$ を用いた具体的な反例を構成する。ここで $a,b,c$ は互いに素であり、 $a > 2b > c$ かつ $\frac{1}{2a} > \frac{2}{c} - \frac{1}{b}$ を満たす。
• 特徴数の計算とヤコビ環におけるテイラー展開を用いて、 $\mathrm{Gr}_V^{\beta_0} \widetilde{H}^{\prime\prime}_{f_u} \subset N \mathcal{G}^{\beta_0}$ を示し、 $\dim \mathcal{G}^{\beta_0} = 2$、$N^2 = 0$、$\dim \mathrm{Gr}_V^{\beta_0} \widetilde{H}^{\prime\prime}_{f_u} = 1$ であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベルンシュタイン＝サト多項式 $b_f(s)$ の根 $-\alpha$ が、常に $\mathcal{D}_X f^{-\alpha} \neq \mathcal{D}_X f^{-\alpha+1}$ を意味するか？
• RQ2 消失コホモロジー上のモノドロミー作用は、飽和ブリースコルン格子の階数付き部分に作用する $e^{-2\pi i \partial_t t}$ と同じか？
• RQ3 モノドロミーが半単純でない場合、特にブリースコルン格子の構造は、これまでの仮定よりも複雑になり得るか？
• RQ4 $\widetilde{M}_f^\beta$ 上のノルム作用素 $N$ が、$G$-フィルトレーションを厳密に保存する条件は何か？

主な発見

• ベルンシュタイン＝サト多項式の根 $-\alpha$ が、常に $\mathcal{D}_X f^{-\alpha} \neq \mathcal{D}_X f^{-\alpha+1}$ を意味するとは限らない。条件を満たす $a,b,c$ と $f_u = x^{2a} + y^{2a} - x^{2b}y^{2b} + z^c - u x^{a+b-1}y^{b-1}z$ を用いた反例により示された。
• 反例では $\dim \mathcal{G}^{\beta_0} = 2$、$N^2 = 0$、$\dim \mathrm{Gr}_V^{\beta_0} \widetilde{H}^{\prime\prime}_{f_u} = 1$ であり、 $\mathrm{Gr}_V^{\beta_0} \widetilde{H}^{\prime\prime}_{f_u} = N \mathcal{G}^{\beta_0} \subsetneq \mathcal{G}^{\beta_0}$ であるため、 $\mathrm{Gr}_G^0 M_{f_u}^\beta \neq 0$ だが $\mathrm{Gr}_G^0 (M_{f_u}^\beta / N M_{f_u}^\beta) = 0$ である。
• ミルナーのモノドロミー $T$ と、階数付きブリースコルン格子上の $e^{-2\pi i \partial_t t}$ の作用は、反例において同じジョルダン標準形を持たない。これは [Sa1] における古くからの未解決問題を解決する。
• 本稿では、$(\beta,j) \neq (1,0)$ に対しては $\mathrm{Gr}_G^j (M_f^\beta / N M_f^\beta) \cong \mathrm{Gr}_G^j (\widetilde{M}_f^\beta / N \widetilde{M}_f^\beta)$ が成り立つが、$(1,0)$ では $M_Z$ と $M_Z'$ を含む非自明な核が存在するため、成立しない。
• この結果により、モノドロミーが半単純でない場合、ブリースコルン格子の構造は、これまでの考えよりも複雑であることが示された。