[論文レビュー] D-modules on rigid analytic spaces III: Weak holonomicity and operations

Konstantin Ardakov, Andreas Bode+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、rigid analytic空間上のcoadmissible $\wideparen{\mathcal{D}}$-加群に対して次元論を構築し、代数的 $\mathcal{D}$-加群における正則性に類似した弱正則性の概念を導入する。この加群に対してBernsteinの不等式を証明し、閉埋め込みおよび双対性に関して安定性を確立し、積分可能な接続の高次直接像および局所コホモロジーが、無限次元のファイバーと無限長の加群といった病理的性質を示しても、coadmissibleかつ弱正則的であることを示している。

ABSTRACT

We develop a dimension theory for coadmissible D-cap-modules on rigid analytic spaces and study those which are of minimal dimension, in analogy to the theory of holonomic D-modules in the algebraic setting. We discuss a number of pathologies contained in this subcategory (modules of infinite length, infinte-dimensional fibres). We prove stability results for closed immersions and the duality functor, and show that all higher direct images of integrable connections restricted to a Zariski open subspace are coadmissible of minimal dimension. It follows that the local cohomology sheaves $H^i_Z(\mathcal{M})$ with support in a closed analytic subset $Z$ of $X$ are also coadmissible of minimal dimension for any integrable connection $\mathcal{M}$ on $X$.

研究の動機と目的

• rigid analytic空間上のcoadmissible $\wideparen{\mathcal{D}}$-加群の次元論を発展させ、代数的 $\mathcal{D}$-加群における正則性の概念を一般化すること。
• 最小次元を持つものとして弱正則的 $\wideparen{\mathcal{D}}$-加群を定義し、代数的設定における正則加群に類似した性質を研究すること。
• 代数的理論とは異なり、無限長の加群や無限次元のファイバーといった病理的性質が生じるこのカテゴリにおける問題点を調査すること。
• 閉埋め込み、双対性、高次直接像、局所コホモロジーファンクターといった主要な操作に関して、弱正則性の安定性を証明すること。
• 積分可能な接続の高次直接像および局所コホモロジー層がcoadmissibleかつ弱正則的であることを確立し、古典的結果を解析的設定に拡張すること。

提案手法

• Auslander正則性からAuslander–Gorensteinに条件を緩和し、普遍的に有界な自己射的次元を持つものにすることで、Fréchet–Stein代数のホモロジー的次元論を適応する。
• coadmissible $\wideparen{\mathcal{D}}(X)$-加群 $M$ の次元 $d(M)$ を $d(M) = 2\dim X - j(M)$ で定義し、ここで $j(M)$ は $M$ のホモロジー的グレードである。非ゼロ $M$ に対して $d(M) \geq \dim X$ が成り立つBernsteinの不等式を証明する。
• $\wideparen{\mathcal{D}}(X)$ が $\mathcal{D}(X)$-加群として忠実平坦であることを使い、解析的理論と代数的理論を関連付ける。
• Zariski開埋め込みに沿った導来押し出しの理論を適用し、$\mathrm{R}^i j_* (\mathcal{M}|_U)$ が、積分可能な接続 $\mathcal{M}$ に対してcoadmissibleかつ弱正則的であることを示す。
• 局所コホモロジーの完全系列と $i \geq 2$ に対して成り立つ同型 $\underline{H}^i_Z(\mathcal{M}) \cong \mathrm{R}^{i-1}j_*(\mathcal{M}|_U)$ を用いて、局所コホモロジー層の弱正則性を導出する。
• 適切な被覆におけるČechコホモロジーを用いて $\mathrm{R}^i j_*(\mathcal{M}|_U)(X)$ を計算し、コホモロジーに関して最小次元加群の安定性結果を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴的多様体理論が存在しないにもかかわらず、rigid analytic空間上のcoadmissible $\wideparen{\mathcal{D}}$-加群に対して、意味的な次元および最小次元（弱正則性）の概念を定義できるか？
• RQ2 Zariski開埋め込みに沿った積分可能な接続の高次直接像 $\mathrm{R}^i j_*(\mathcal{M}|_U)$ は、依然としてcoadmissibleかつ最小次元のままであるか？
• RQ3 閉じた解析的部分集合 $Z$ に沿った局所コホモロジー層 $\underline{H}^i_Z(\mathcal{M})$ は、積分可能な接続 $\mathcal{M}$ に対してcoadmissibleかつ弱正則的であるか？
• RQ4 弱正則的 $\wideparen{\mathcal{D}}$-加群のカテゴリには、代数的正則的カテゴリに存在しないどのような病理的性質が生じるか？
• RQ5 双対性および閉埋め込みに関して、弱正則性は解析的設定でも保存されるか？

主な発見

• 論文は、coadmissible $\wideparen{\mathcal{D}}(X)$-加群に対してBernsteinの不等式を確立した。任意の非ゼロ加群 $M$ に対して、次元は $d(M) \geq \dim X$ を満たし、等号が成り立つのは弱正則的加群のときである。
• 任意のZariski開埋め込み $j:U\to X$ および $X$ 上の積分可能な接続 $\mathcal{M}$ に対して、$\mathrm{R}^i j_*(\mathcal{M}|_U)$ がcoadmissibleかつ最小次元の $\wideparen{\mathcal{D}}_X$-加群であることを証明した。これは古典的結果を解析的設定に拡張するものである。
• 任意の閉じた解析的部分集合 $Z$ および滑らかなrigid analytic空間 $X$ 上の積分可能な接続 $\mathcal{M}$ に対して、局所コホモロジー層 $\underline{H}^i_Z(\mathcal{M})$ がcoadmissibleかつ弱正則的であることを示した。この同型 $\underline{H}^i_Z(\mathcal{M}) \cong \mathrm{R}^{i-1}j_*(\mathcal{M}|_U)$ を用いて導出された。
• 弱正則的 $\wideparen{\mathcal{D}}$-加群のカテゴリには、代数的ケースに存在しない病理的性質が含まれる。具体的には、無限長の加群や無限次元のファイバーが存在し、これにより $(*)$ および $(**)$ の類似性が弱正則性を特徴づけないことが示された。
• 双対ファンクターは弱正則性を保存し、弱正則的加群のカテゴリ $\mathcal{C}_X^{\mathrm{wh}}$ はアーベル圏であるため、核および余核に関して安定であることが保証される。
• 自然な写像 $\theta: \wideparen{\mathcal{D}}(X) \otimes_{\mathcal{D}(X)} M[f^{-1}] \to \mathcal{M}(U)$ はcoadmissible $\wideparen{\mathcal{D}}(X)$-加群の上での全射であり、代数的設定から解析的設定への次元の上限を移すのに用いられた。