[論文レビュー] D-modules on Spaces of Rational Maps and on other Generic Data

Jonathan Barlev|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、代数曲線上の一般に定義された幾何的データ（特に有理写像および$B(K)\backslash G(\mathbb{A})/G(\mathbb{O})$型の商）の、ドリンフェルトに由来する三つの異なるファンクター・オブ・ポイントの構成の同値性を確立する。これら三つの構成がfppf・シャーブに同値であることを証明し、それにより関連するDモジュールおよびDモジュール不変量のカテゴリが同値になることを示す。さらに、$\mathrm{Bun}_G^{B(\mathrm{gen})}$の幾何的実現を構成し、$\mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G)$への完全 faithfulな$!$-引き戻しを構成することで、幾何学的ラングランズの類似を得る。

ABSTRACT

Let X be an algebraic curve. We study the problem of parametrizing geometric data over X, which is only generically defined. E.g., parametrizing generically defined (aka rational) maps from X to a fixed target scheme Y. There are three methods for constructing functors of points for such moduli problems (all originally due to Drinfeld), and we show that the resulting functors are equivalent in the fppf Grothendieck topology. As an application, we obtain three presentations for the category of D-modules "on" B (K) \G (A) /G (O), and we combine results about this category coming from the different presentations.

研究の動機と目的

• 代数曲線上の一般に定義された幾何的データ（特に有理写像および$B(K)\backslash G(\mathbb{A})/G(\mathbb{O})$）の、あらかじめ異なる三つのファンクター・オブ・ポイントの定義方法を統一すること。
• これらの三つの構成がfppfグローテンディーク位相において同値なファンクターをもたらすことを証明し、それにより関連する準連接層およびDモジュールのカテゴリが同値になることを保証すること。
• 同値性を幾何学的ラングランズプログラムに応用し、一般に$B$-還元をもつ$G$-バンドルをパラメトライズする空間$\mathrm{Bun}_G^{B(\mathrm{gen})}$を構成すること。
• $\mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G)$から$\mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G^{B(\mathrm{gen})})$への完全 faithful な$!$-引き戻し関手を確立し、ラングランズの関手的写像を幾何学的に実現すること。

提案手法

• 有限かつ空でない部分集合をパラメトライズするためのラン空間のアプローチを用い、関手$\mathcal{Ran}_X: \mathfrak{Aff}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Gpd}_\infty$を構成する。
• グローテンディークのアンストレート化構成を適用し、射$\{n\} \twoheadrightarrow F$の図式の余極限がコンパクトであることを示し、$\mathcal{Ran}_X(S)$が集合であることを証明する。
• 準射の三つの構成（準写像、ラン空間、ドリンフェルトの元来のスキーム）が、一般のデータに対してfppf同値なファンクター・オブ・ポイントをもたらすことを確立する。
• ホモトピー代数を用いて、包含写像$j: \mathcal{S}_c^0 \to C^0$に沿った右カルタン拡張が、ファイバーのコンパクト性により層であることを示す。
• Dモジュールの導来圏における$!$-引き戻しと$!$-フォワード随伴関手を用い、$\mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G^{B(\mathrm{gen})})$と$\mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G)$を関連付ける。
• fppf層の同値性を活用して、Dモジュールのカテゴリおよびその導来不変量が同値であることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数曲線上の一般に定義された写像の三つの異なるファンクター・オブ・ポイントの構成（準写像、ラン空間、ドリンフェルトの元来のスキーム）は、fppf位相において同値か？
• RQ2 $B(K)\backslash G(\mathbb{A})/G(\mathbb{O})$は、一般に$B$-還元をもつ$G$-バンドルのモジュライ空間として幾何学的に実現可能か？
• RQ3 $\mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G)$から$\mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G^{B(\mathrm{gen})})$への$!$-引き戻し関手は完全 faithful な埋め込みを誘導するか？
• RQ4 これらの三つの構成の間で、Dモジュールカテゴリの導来不変量（例えばホモロジー群）はどのように関係しているか？
• RQ5 包含写像$j: \mathcal{S}_c^0 \to C^0$に沿った層$\mathcal{F}_0$の右カルタン拡張は層か？そしてこれはグローバル・セクションにどのような意味を持つのか？

主な発見

• 代数曲線上の一般に定義されたデータの三つのファンクター・オブ・ポイントの構成は、fppfグローテンディーク位相において同値であり、それにより関連する準連接層およびDモジュールのカテゴリが同値であることが保証される。
• $\mathrm{Bun}_G^{B(\mathrm{gen})}$（一般に$B$-還元をもつ$G$-バンドルをパラメトライズする空間）は、幾何的対象として存在し、$!$-引き戻しを介して$\mathrm{Bun}_G$のDモジュールカテゴリと同値である。
• $\mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G^{B(\mathrm{gen})}) \to \mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G)$への$!$-引き戻し関手は完全 faithful であり、$B(K)\backslash G(\mathbb{A})/G(\mathbb{O})$から$G(K)\backslash G(\mathbb{A})/G(\mathbb{O})$へのラングランズの関手的写像を幾何学的に実現する。
• 包含写像$j: \mathcal{S}_c^0 \to C^0$に沿った層$\mathcal{F}_0$の右カルタン拡張は層である。これは、ファイバー・カテゴリに終端対象が存在するため、余極限のホモトピーファイバーがコンパクトになることによる。
• $\mathcal{Ran}_X(S)$は、$\mathrm{Hom}(S,X)$の有限かつ空でない部分集合と同値であり、これは射$\{n\} \twoheadrightarrow F$の図式の余極限がコンパクトであることを示すことによって証明される。
• 図式$\mathrm{Surj}(\{n\}, F) \to \{F \subseteq \mathrm{Hom}(S,X)\}$のホモトピーファイバーはコンパクトである。これはファイバー・カテゴリに終端対象が存在するためであり、それにより余極限が集合であることが保証される。