[論文レビュー] Déterminant des opérateurs de Cauchy-Riemann réels et application à l'orientabilité d'espaces de modules de courbes réelles

Rémi Crétois|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、実複素構造をもつ実シンプレクティック多様体内の実擬正則曲線のモジュライ空間の向き付け可能性を、実ベクトル束上のコーシー・リーマン作用素の決定的バンドルにおける実自己同型の作用を分析することによって調査する。主なケースにおいて第一スティーフェル・ホイットニー類を計算し、一般の almost complex 構造に対して、複素射影3次元空間内に空でない実部分を持つ実擬正則曲線のモジュライ空間が向き付け可能であることを証明する。

ABSTRACT

The paper is devoted to the study of the orientability of the moduli spaces of real pseudoholomorphic curves in real symplectic manifolds. We begin by extending the results we obtained in \cite{article1}. Namely, we consider a complex vector bundle $(N,c_N)$ equipped with a real structure over a real curve $(Σ_g,c_Σ)$ of genus $g \in \NN$, and we give a description of the action of an automorphism of $(N,c_N)$ on the orientations of the determinant bundle over the space of all Cauchy-Riemann operators on $(N,c_N)$. In the second part, we use the previous decription to compute the first Stiefel-Whitney class of the moduli space of real pseudoholomorphic curves in many cases. We show for example that the real pseudoholomorphic curves with non-empty real part in the complex projective space of dimension three form an orientable moduli space for a generic almost complex structure.

研究の動機と目的

• 実シンプレクティック多様体内の実擬正則曲線のモジュライ空間の向き付け可能性を特定すること。
• 実曲線上に実構造をもつ複素ベクトルバンドルの実自己同型に関する以前の結果を拡張すること。
• 特に複素射影3次元空間内での実擬正則曲線のモジュライ空間の第一スティーフェル・ホイットニー類を計算すること。
• 実構造および自己同型が決定的バンドルの向き付け性を決定する役割を明確にすること。

提案手法

• 実曲線上の実ベクトルバンドル上のコーシー・リーマン作用素の空間における、実自己同型の向きに対する作用を分析する。
• 自己同型の作用の記述を応用し、モジュライ空間の第一スティーフェル・ホイットニー類を計算する。
• 複素ベクトルバンドルにおける実構造の理論と、それらが決定的ラインバンドルに誘導する作用を用いる。
• ティッヒミュラー空間および実構造に関する結果を応用し、モジュライ空間の向き付け可能性を分析する。
• 極化技法と横断的議論を用いて、モジュライ空間の構造を研究する。
• 特にスピン構造およびピン構造に関連する、グロモフ・ウィッテン理論およびフロイドホモロジーの結果を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実擬正則曲線のモジュライ空間がどのような条件下で向き付け可能となるか？
• RQ2 実構造をもつ複素ベクトルバンドルの実自己同型は、コーシー・リーマン作用素の決定的バンドルの向きにどのように作用するか？
• RQ3 複素射影3次元空間内での実擬正則曲線のモジュライ空間の第一スティーフェル・ホイットニー類は何か？
• RQ4 マッピングクラス群の決定的バンドルへの作用によって、モジュライ空間の向き付け可能性を特定できるか？
• RQ5 実構造および極化の選択は、モジュライ空間の向き付け可能性にどのように影響するか？

主な発見

• 複素射影3次元空間内に空でない実部分を持つ実擬正則曲線のモジュライ空間は、一般の almost complex 構造に対して向き付け可能である。
• 多くのケースにおいて、モジュライ空間の第一スティーフェル・ホイットニー類が消えるため、向き付け可能性が保証される。
• 実自己同型が決定的バンドルに与える作用は、コーシー・リーマン作用素の空間への誘導作用を用いて完全に記述できる。
• モジュライ空間の向き付け可能性は、正則バンドルへの実構造の存在およびマッピングクラス群の挙動と関連している。
• 本研究は、実グロモフ・ウィッテン不変量およびウェルシュインガー不変量の文脈における、以前の向き付けに関する研究を拡張している。
• 決定的バンドルと自己同型の作用を用いた、さまざまな実シンプレクティック多様体におけるモジュライ空間の向き付け可能性を計算するためのフレームワークを提供している。