[論文レビュー] DAG-type Distributed Ledgers via Young-age Preferential Attachment

Christian Mönch, Amr Rizk|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2021

Sharing Economy and Platforms被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、新規取引が「若年」の取引（最近追加されたもの）に優先的に参照する若年優先的付加（YAPA）モデルを、DAG型分散台帳に対して提案する。モデルは漸近的次数分布を解析的に導出し、エッジ密度αがβ + 1を超えると巨大な前方成分が出現することを示す。前方成分のサイズはn · y*(α, β)に比例し、y*は非線形方程式の正の解である。

ABSTRACT

Distributed Ledger Technologies provide a mechanism to achieve ordering among transactions that are scattered on multiple participants with no prerequisite trust relations. This mechanism is essentially based on the idea of new transactions referencing older ones in a chain structure. Recently, DAG-type Distributed Ledgers that are based on directed acyclic graphs (DAGs) were proposed to increase the system scalability through sacrificing the total order of transactions. In this paper, we develop a mathematical model to study the process that governs the addition of new transactions to the DAG-type Distributed Ledger. We propose a simple model for DAG-type Distributed Ledgers that are obtained from a recursive Young-age Preferential Attachment scheme, i.e. new connections are made preferably to transactions that have not been in the system for very long. We determine the asymptotic degree structure of the resulting graph and show that a forward component of linear size arises if the edge density is chosen sufficiently large in relation to the `young-age preference' that tunes how quickly old transactions become unattractive.

研究の動機と目的

• 確率的付加メカニズムを用いてDAG型分散台帳の成長ダイナミクスをモデル化すること。
• このようなシステムにおける参照次数分布および前方成分サイズの進化を調査すること。
• 取引グラフにおける巨大前方成分の出現の臨界閾値を特定すること。
• 『若年優先性』およびエッジ密度がネットワーク構造およびスケーラビリティに与える影響を定量化すること。
• 大規模システムサイズの極限における次数分布および成分サイズの漸近的性質を確立すること。

提案手法

• 新規頂点が古い頂点に付加される確率が(m/(n-1))^βに比例する、再帰的な若年優先的付加（YAPA）モデルを提案する。若いノードを優遇する。
• エッジ密度αと強化バイアスβを、付加確率を制御する主要パラメータとして定義する。
• 確率的近似およびマルティンゲール技法を用いて前方成分サイズの極限的挙動を分析する。
• 前方成分の成長をプロセスWn/nを介してバインドするために、分枝過程とのカップリングを導入する。
• 逐次的確率的近似補題（補題13）を適用し、正規化された成分サイズのほとんど確実収束を証明する。
• 巨大前方成分の存在における位相転移の臨界閾値α = β + 1を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 若年優先的付加の下で、DAG型分散台帳における巨大前方成分がどのような条件下で出現するか。
• RQ2 YAPAモデルにおけるノードの漸近的次数分布はどのように進化するか。
• RQ3 エッジ密度αと強化バイアスβの関係は、ネットワークの接続性をどのように決定づけるか。
• RQ4 異なるパrameter設定下で、システムサイズnに対する前方成分サイズはどのようにスケーリングするか。
• RQ5 n → ∞の極限における正規化された前方成分サイズの挙動はいかなるものか。

主な発見

• YAPAモデルが生成するグラフはスパースであり、エッジ数は漸近的にn · α / (β + 1)に比例する。
• 巨大前方成分が線形サイズで存在するのはα > β + 1のときに限り、そのサイズはn · y*(α, β)に比例する。ここでy*は方程式α(1 − e^−y) = (β + 1)yの正の解である。
• α < β + 1の場合、前方成分サイズは極限でほとんど確実に消滅する。これは劣臨界的挙動を示す。
• 臨界閾値α = β + 1においても、前方成分サイズはほとんど確実に消滅するが、これは位相転移点である。
• 前方成分サイズの極限がほとんど確実に正であるのはα > β + 1のときに限り、極限値はγ = (1 + β)/α · y*(α, β)で与えられる。
• 本モデルは、近似過程Ynの生存と非消滅前方成分の存在との間に一対一の対応関係を確立する。