[論文レビュー] Damped quantum harmonic oscillator

Аурелиан Исар, A. Sãndulescu|ArXiv.org|Feb 17, 2006

Quantum Information and Cryptography参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、オープン量子系のリンドブラド形式を用いて、減衰する調和振動子をきめ細やかに量子力学的に取り扱い、物理的に妥当な拡散係数を持つ一貫性のあるマスター方程式を導出する。量子光学や核物理学で広く用いられているマスター方程式がしばしば量子力学的制約に違反していることが示され、準確確率分布（ガウバーP、Q、ウィグナー）が同一の分散と定常状態のガウス型プロファイルをもたらすことが明らかになった。また、生成関数法を用いて正確な時間発展密度行列を導出する。

ABSTRACT

In the framework of the Lindblad theory for open quantum systems the damping of the harmonic oscillator is studied. A generalization of the fundamental constraints on quantum mechanical diffusion coefficients which appear in the master equation for the damped quantum oscillator is presented; the Schrödinger and Heisenberg representations of the Lindblad equation are given explicitly. On the basis of these representations it is shown that various master equations for the damped quantum oscillator used in the literature are particular cases of the Lindblad equation and that the majority of these equations are not satisfying the constraints on quantum mechanical diffusion coefficients. Analytical expressions for the first two moments of coordinate and momentum are also obtained by using the characteristic function of the Lindblad master equation. The master equation is transformed into Fokker-Planck equations for quasiprobability distributions. A comparative study is made for the Glauber $P$ representation, the antinormal ordering $Q$ representation and the Wigner $W$ representation. It is proven that the variances for the damped harmonic oscillator found with these representations are the same. By solving the Fokker-Planck equations in the steady state, it is shown that the quasiprobability distributions are two-dimensional Gaussians with widths determined by the diffusion coefficients. The density matrix is represented via a generating function, which is obtained by solving a time-dependent linear partial differential equation derived from the master equation. Illustrative examples for specific initial conditions of the density matrix are provided.

研究の動機と目的

• リンドブラドのオープン量子系理論を用いて、減衰する調和振動子の整合的で量子力学的な枠組みを確立すること。
• 量子力学的制約を強制することで、量子光学や核物理学で用いられる既存のマスター方程式に内在する不一致を特定・是正すること。
• フォッカー＝プランク形式における、さまざまな準確確率表現（ガウバーP、Q、ウィグナー）による分散が同一であることを示すこと。
• マスター方程式から導かれる線形偏微分方程式に基づく生成関数法を用いて、時間に依存する密度行列の正確な解を導出すること。
• 定常状態が熱的（ボーズ＝アインシュタイン）分布に対応することを示し、コherentな初期状態が時間に依存するガウス状態に発展することを示すこと。

提案手法

• マーボビアンなオープン量子系のリンドブラド公理的枠組み内に減衰する量子振動子を定式化し、完全正則性とトレース保存性を保証すること。
• リンドブラドマスター方程式のシュレーディンガー形式およびハイゼンベルク形式を導出し、物理的整合性のための拡散係数への制約を同定すること。
• 特性関数法を用いて、位置および運動量演算子の一次モーメント（平均）と二次モーメント（分散）を解析的に計算すること。
• マスター方程式を、三つの準確確率分布（ガウバーP、反正規順序Q、ウィグナーW）のフォッカー＝プランク方程式に変換すること。
• 定常状態におけるフォッカー＝プランク方程式の解を求めて、三つの分布がすべて拡散係数によって決定される二次元ガウス分布であることを示すこと。
• 密度行列の生成関数を導入し、マスター方程式から導かれる時間に依存する線形偏微分方程式を満たすことで、密度行列要素の正確な時間発展を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 減衰する量子調和振動子に広く用いられているマスター方程式のうち、どのものが量子力学的制約に数学的に整合しているか？
• RQ2 量子力学的制約に整合する場合、ガウバーP、Q、ウィグナーの異なる準確確率表現から得られる位置および運動量の分散は同一であるか？
• RQ3 生成関数形式を用いることで、減衰する調和振動子の密度行列の時間発展を正確に解くことができるか？
• RQ4 マスター方程式の定常状態解は何か？それは熱的（ボーズ＝アインシュタイン）分布に対応するか？
• RQ5 初期状態としてギャウバーのコherent状態をとる場合、その時間発展における密度行列はどのように変化するか？また、閉じた形で表現可能か？

主な発見

• 文献で広く用いられている減衰する調和振動子のマスター方程式の大部分は、拡散係数に関する量子力学的制約に違反しており、物理的に不適切である。
• ガウバーP、Q、ウィグナーの準確確率分布から得られる位置および運動量の分散は同一であり、異なる表現スキーム間での一貫性が証明された。
• 定常状態において、三つの準確確率分布（P、Q、W）はすべて拡散係数によって決定される二次元ガウス分布であり、漸近的状態が熱的であることを確認した。
• 時間に依存する線形偏微分方程式を満たす生成関数を用いることで、密度行列の時間発展が正確に解けることが示され、係数は一次微分方程式によって決定される。
• 初期状態がギャウバーのコherent状態の場合、時間発展する密度行列も依然としてコherent状態であり、時間に依存する振幅を持つ。この解は、数の基底においてポisson分布に帰着する。
• 熱的バスタの状況では、定常状態の密度行列はボーズ＝アインシュタイン分布となり、リンドブラド形式が統計力学と整合していることを確認した。