[論文レビュー] Dark Energy and the Schwarzian Derivative

G. W. Gibbons|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2014

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 28被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、時間再パrameter化またはWeyl共形スケーリングの下で、ダークエネルギー密度（特に宇宙定数）が、変換がSL(2,R)に属さない限りシュヴァルツィアン導関数項を加えて変換されることを示している。定数と時間変化するダークエネルギーの理論の間の同等性を確立し、シュヴァルツィアンテンソルが一般相対性理論における共形フレーム変換下でのダークエネルギーの変化を支配することを示している。特に、フレリューディ・ラマートル宇宙論において顕著である。

ABSTRACT

Theories with a time dependent Newton's constant admit two natural measures of time : atomic and astronomical. Temporal parametrisation by SL(2, R) transformations gives rise to an equivalence between theories with different time dependence's, including the special Case of no time dependence, a fact noticed by Mestschersky, Vinti and by Lynden-Bell. I point out that theories with time dependent dark energy densities admit three natural measures of time : atomic and astronomical and de Sitter related by temporal re-parametrizations and I extend Mestschersky-Vinti-Lynden-Bell's result to cover this more general situation. I find a consequent equivalence between theories in which the density of dark energy is constant in time and in which it varies with time. Strikingly a time dependent cosmological constant changes by the addition of a Schwarzian derivative term unless the temporal reparameterization belongs to SL(2, R). In General Relativity one may introduce a Schwarzian tensor to investigate how the notion of dark energy changes under changes of conformal frame. The general theory is illustrated in the case of Friedmann-Lemaitre metrics.

研究の動機と目的

• 時間に依存するニュートン定数とダークエネルギーを伴う理論における時間再パラメータ化の役割を調査すること。
• 原子時刻、天文学的時刻、de Sitter時刻の測定値の間のMestschersky-Vinti-Lynden-Bell同等性を、ダークエネルギーのダイナミクスを含めて拡張すること。
• 特に時間変化するダークエネルギーの文脈において、時空計量のWeyl共形スケーリングの下での宇宙定数の変換を調査すること。
• フレリューディ・ラマートル計量における、宇宙論的スカラー（ハッブルパラメータ、減速パラメータ、ジェルク）とシュヴァルツィアン導関数との関係を確立すること。
• シュヴァルツィアン構造を通じて、3+1次元の共形場理論とダークエネルギーとの間に深い関係がある可能性を示唆すること。

提案手法

• SL(2,R)変換を用いた時間再パラメータ化により、宇宙論的モデルにおける原子時刻、天文学的時刻、de Sitter時刻の異なる時間測定値を関連付ける。
• シュヴァルツィアン導関数を用いて、特に宇宙定数が不変でない場合に、有効なダークエネルギー密度が時間再パラメータ化の下でどのように変化するかを記述する。
• 一般相対性理論におけるWeyl共形スケーリングの下での宇宙定数の変換を記述するためのシュヴァルツィアンテンソルを導入する。
• 共形変換の下でのフレリューディ・ラマートル＝ロバートソン＝ウォーカー計量を分析し、修正されたフレリューディ方程式およびレイチャウドフリ方程式を導出する。
• シュヴァルツィアン導関数{a,t}と宇宙論的スカラー（ハッブルパラメータH、減速パラメータq、ジェルクj）との間の恒等式を導出する：{a,t} = H²(j - ³⁄₂q²)。
• 共形変換gμν → g̃μν = Ω²(φ)gμνを用いてジョルダン、アインシュタイン、de Sitter共形フレームを切り替える。GとΛの変換を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原子時刻、天文学的時刻、de Sitter時刻を関連付ける一般の時間再パラメータ化の下で、有効なダークエネルギー密度はどのように変化するか？
• RQ2 時間座標が再定義される際、シュヴァルツィアン導関数が宇宙定数の変換において果たす役割は何か？
• RQ3 時空計量のWeyl共形スケーリングの下で、宇宙定数はどのように変化するのか？この文脈におけるシュヴァルツィアンテンソルの意味は何か？
• RQ4 定数と時間変化するダークエネルギー密度のモデルの間に、幾何的または力学的同等性があるか？
• RQ5 シュヴァルツィアン導関数は、ΛCDMモデルにおける観測可能な宇宙論的スカラー（ジェルク、減速）と結びついているか？

主な発見

• 一般の時間再パラメータ化の下で、宇宙定数は、変換がSL(2,R)に属さない限り、シュヴァルツィアン導関数項を加えて変換される。SL(2,R)に属する場合は、定数の形が保存される。
• 適切な時間再パラメータ化の下で、時間に依存するダークエネルギー密度は物理的に定数のものと同等である。これにより、変動するダークエネルギーと定数のダークエネルギーのモデルの間の新しい双対性が確立される。
• シュヴァルツィアン導関数{a,t}は、恒等式{a,t} = H²(j - ³⁄₂q²)により、宇宙論的スカラー（ハッブルパラメータH、減速パラメータq、ジェルクj）と関係づけられる。これにより、時間の幾何的進化と観測可能な運動論的量との間の関係が明確化される。
• 共形スケーリングgμν → Ω²gμνの下で、有効なダークエネルギー密度はシュヴァルツィアンテンソルを含む項を介して変化し、このテンソルが共形フレーム間でのΛの変化を支配する。
• de Sitter共形フレームでは、宇宙定数が一定に保たれるが、共形因子のおかげでダークエネルギー密度は依然として変化しうる。ただし、変換がSL(2,R)に属する場合を除く。
• 共形スケーリングの下での修正されたフレリューディ方程式には、共形因子φの2階微分に比例する項が含まれており、有効エネルギー密度が時間再定義の曲率に依存することを示している。