[論文レビュー] Darmon's points and quaternionic Shimura varieties

Jérôme Gärtner|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、クォaternion的シャムール多様体を用いて、Darmonの予想的構成であるスターブ・ヒーゲナー点をATRでない二次拡大へ一般化し、正則微分形式を通じてアーベル・ジャコビ写像を確立するとともに、特殊値のL関数とこれらの点の高さを結ぶグロス＝コーエン＝ザジア型の公式を予想する。主な貢献は、非CMなアーデル的設定におけるDarmonの点に対する精密化されたグロス＝ザジア予想である。

ABSTRACT

In this paper, we generalize a conjecture due to Darmon and Logan in an adelic setting. We study the relation between our construction and Kudla's works on cycles on orthogonal Shimura varieties. This relation allows us to conjecture a Gross-Kohnen-Zagier theorem for Darmon's points.

研究の動機と目的

• ATR（反ねじれ）条件を超えて、K/F がCMでない一般の二次拡大に対して、Darmonのスターブ・ヒーゲナー点の予想的構成を拡張すること。
• ジャケット＝ラングランズ対応を介して、ヒルベルトモジュラー形式に関連するクォaternion的シャムール多様体上の正則微分形式を用いて、一般化されたアーベル・ジャコビ写像を定義すること。
• Darmonの点の高さとランキン＝セルバーグL関数の特殊値を結ぶグロス＝ザジア型の公式を予想すること。
• クーダの直交的シャムール多様体上のサイクル理論と関連づけ、この構成の幾何的解釈を提供すること。
• Darmonの点の算術と半整数重のヒルベルトモジュラー形式のフーリエ係数を結ぶ予想を提示すること。

提案手法

• 全実体F、二次拡大K/F、およびr個の実埋め込みで分解し、d−r個の場所で分岐する四元数代数B/Fに関連する、全実体F、二次拡大K/F、四元数代数B/Fに対して、クォaternion的シャムール多様体Sh_H(G,X)を構成する。
• K⊗Rの×_+ とF⊗Rの×の商の作用を通じて、(C\R)^r 上で、次元r−1の実サイクルT_bをSh_H(G,X)(C) 上に定義し、それを境界がT_bに比例する複素rサイクルΔ_bに上げる。
• マツシマとシムーラの定理を用いて、∂Δ_b ∈ Z·T_b を満たすようなサイクルΔ_bの存在を保証する。
• ジャケット＝ラングランズ対応を介して、B上のヒルベルトモジュラー特徴形式φに付随する、次数rの正則微分形式ω_φを付与する。
• K⊗Rの×_+ の連結成分のキャラクターβを導入し、その周期が、Eのネロン格子にホモトープな格子であると予想される、修正された微分形式ω_φ^βを定義する。
• Weierstrassの均一化の下で、複素数∫_{Δ_b} ω_φ^β の像として、点P_b^β ∈ E(C) を定義する。この定義はΔ_bの選び方に依存しない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Darmonのスターブ・ヒーゲナー点の構成は、ATR条件を超えて一般化可能であり、狭類数1およびATR仮定を外すことができるか？
• RQ2 クォaternion的シャムール多様体は、全実体上の楕円曲線上の特別な点の構成において、どのように幾何的・算術的役割を果たすのか？
• RQ3 微分形式ω_φ^βの周期は、楕円曲線E/Fのネロン格子とどのように関係するか？
• RQ4 Darmonの点の高さとL関数の特殊値を結ぶグロス＝コーエン＝ザジア型の公式は存在するか？
• RQ5 Darmonの点の算術は、半整数重のヒルベルトモジュラー形式のフーリエ係数と結びつけることができるか？

主な発見

• 点P_b^β ∈ E(C) は、Weierstrassの均一化の下で、∫_{Δ_b} ω_φ^β の像として定義され、サイクルΔ_bの選び方に依存しない。
• 論文は、P_b^β がE(K^{ab})に属し、Galois作用においてβ(a_∞)に従って変化すると予想する。これはDarmonの元の予想を一般化する。
• P_b^β の高さと中心値L'(π×χ, 1/2) を結ぶ、予想的なグロス＝ザジアの公式を提示する。ここでχはヘッケキャラクターである。
• 論文は、直交的シャムール多様体上のサイクル理論との関係を確立し、この構成の幾何的解釈を示唆する。
• ランク1の楕円曲線に対しては、Darmonの点の大きさを測る整数[P_t]が、重さ3/2のヒルベルトモジュラー形式のフーリエ係数に比例すると予想される。
• 論文は、[P_t] がL(E_{-D_0t}, 1) の平方根に比例すると予想する。これはグロス＝コーエン＝ザジア定理と類似している。