[論文レビュー] Data-Driven Approximation of Transfer Operators: Naturally Structured Dynamic Mode Decomposition

Bowen Huang, Umesh Vaidya|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2017

Model Reduction and Neural Networks参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、時系列データからの有限次元近似において、KoopmanおよびPerron-Frobenius（P-F）転送作用素の正性およびマルコフ性を保つデータ駆動型アルゴリズムである自然構造的動的モード分解（NSDMD）を提案する。近似を凸的で制約付き最小二乗最適化問題として定式化することにより、NSDMDは安定で物理的に意味のある固有値および固有関数を保証し、標準的DMDおよびEDMDと比較して、定常状態および一時的動的挙動の予測精度を顕著に向上させる。

ABSTRACT

In this paper, we provide a new algorithm for the finite dimensional approximation of the linear transfer Koopman and Perron-Frobenius operator from time series data. We argue that existing approach for the finite dimensional approximation of these transfer operators such as Dynamic Mode Decomposition (DMD) and Extended Dynamic Mode Decomposition (EDMD) do not capture two important properties of these operators, namely positivity and Markov property. The algorithm we propose in this paper preserve these two properties. We call the proposed algorithm as naturally structured DMD since it retains the inherent properties of these operators. Naturally structured DMD algorithm leads to a better approximation of the steady-state dynamics of the system regarding computing Koopman and Perron- Frobenius operator eigenfunctions and eigenvalues. However preserving positivity properties is critical for capturing the real transient dynamics of the system. This positivity of the transfer operators and it's finite dimensional approximation also has an important implication on the application of the transfer operator methods for controller and estimator design for nonlinear systems from time series data.

研究の動機と目的

• 既存のDMDおよびEDMD手法が転送作用素の近似において構造の保存を欠いているという問題に対処すること。
• KoopmanおよびP-F作用素の有限次元近似が、正性およびマルコフ性という重要な性質を保持することを保証すること。
• 非線形システムにおける定常状態および一時的動的挙動の固有関数および固有値推定の精度を向上させること。
• 最大固有値が正確に1に保証される安定で構造を保存するKoopman行列近似を可能とすること。
• データ駆動型転送作用素手法を用いて非線形システムの制御器および推定器の設計を支援すること。

提案手法

• Koopman作用素の有限次元近似を、正性およびマルコフ性の制約を課した凸的最小二乗最適化問題として定式化する。
• Koopman行列の各行の和が1に等しくなるように制約を課すことにより、マルコフ性を満たし、最大固有値が正確に1に保証される。
• 状態空間データを観測空間に写像するための基底関数の辞書（例：径路基底関数）を用いる。
• Koopman作用素とP-F作用素の随伴関係を活用し、Koopman行列からP-F作用素の近似を導出する。
• 時系列データから径路基底関数の中心をk平均法クラスタリングを用いて選択し、効率的な近似を実現する。
• 転送作用素の正性およびその有限次元近似の正性を保つことで、安定性および物理的整合性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 データ駆動型転送作用素近似手法は、KoopmanおよびP-F作用素に内在する正性およびマルコフ性を保つことができるか？
• RQ2 有限次元近似における構造の制約を課すことにより、定常状態動的挙動の固有関数および固有値推定の精度はどのように向上するか？
• RQ3 構造の保存がKoopman行列近似の一時的挙動および安定性に与える影響は何か？
• RQ4 NSDMDを用いて、データからリャプノフ測度を計算することで、安定性の証明を可能とするか？
• RQ5 NSDMDは、標準的DMDおよびEDMDと比較して、不変測度およびアトラクタ動的挙動をどれほど正確に捉えられるか？

主な発見

• NSDMDはKoopman行列の最大固有値が正確に1に保証され、安定性が保証される。これに対してEDMDは不安定な行列を生成する可能性がある（例：ヴァン・デル・ポール振動子でλ = 1.001）。
• NSDMDを用いた有限次元P-F作用素近似は、不変測度に対応する固有値1の固有関数を正しく捉え、ヘノン写像およびローレンツアトラクタの例で実証された。
• ダフィング振動子において、NSDMDで計算された最初の2つの主要なKoopman固有関数は、2つの平衡点の吸引域を正確に反映している。
• リャプノフ測度は、NSDMDを用いてデータから計算され、安定性証明として機能し、ヴァン・デル・ポール振動子の例で、状態空間の異なる領域に軌道がどれほど長く滞在するかを明らかにした。
• ローレンツアトラクタにおいて、NSDMDは固有値1および0.9762の主要なP-F固有関数を正しく捉えており、カオス的アトラクタの構造を反映している。
• NSDMDは、標準的DMDおよびEDMDと比較して、定常状態動的挙動の近似がより優れている。特に、正しいスペクトル特性および一時的挙動の保存に優れている。