[論文レビュー] Data-Driven Chance Constrained Programs over Wasserstein Balls

Zhi Chen, Daniel Kühn+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2018

Risk and Portfolio Optimization被引用数 50

ひとこと要約

著者らは Wasserstein ambiguity sets に基づくデータ駆動の確率制約問題に対する正確な決定論的再定式化を導出し、Wasserstein ambiguity setsでのデータ駆動の確率制約問題に対して、混合整数円錐計画（1-ノルムまたは ∞-ノルムを使用する場合は MILP）を導出し、既存スキームに対して競争力のある性能を示す。

ABSTRACT

We provide an exact deterministic reformulation for data-driven chance constrained programs over Wasserstein balls. For individual chance constraints as well as joint chance constraints with right-hand side uncertainty, our reformulation amounts to a mixed-integer conic program. In the special case of a Wasserstein ball with the $1$-norm or the $\infty$-norm, the cone is the nonnegative orthant, and the chance constrained program can be reformulated as a mixed-integer linear program. Our reformulation compares favourably to several state-of-the-art data-driven optimization schemes in our numerical experiments.

研究の動機と目的

• 分布が生成する確率分布が不確実な場合の分布健全化最適化を動機づける。
• Wasserstein ambiguity sets の下でデータ駆動の確率制約問題の正確な再定式化を開発する。
• 右辺不確実性を伴う個別および結合の確率制約を扱う。
• 計算的に扱いやすい混合整数円錐再定式化を提供する。
• 提案手法を最先端のデータ駆動最適化スキームと比較する。

提案手法

• データ駆動の確率制約を empirical distribution を中心とした Wasserstein ambiguity sets でモデル化する。
• Wasserstein ball における Unsafe events の worst-case 確率を特徴づけ、決定論的プログラムとして再定式化する（Theorem 2.2）。
• εN 個最小の unsafe set への距離の和を線形計画法で表現するための線形化トリックを用いる（Lemma 2.4）。
• 得られた問題に対する混合整数円錐再定式化を導出する；ground norm が 1-norm または ∞-norm の場合には MILP に簡約される（Proposition 2.6 および関連する議論）。
• 再定式化を(i) affine safety sets が ICC 問題に、(ii) right-hand side uncertainty を伴う結合確率制約に特化する（Sections 2.3 および 2.4）。
• Wasserstein DRO の正確な再定式化を含む前例および関連研究を論じ、φ-発散のアプローチとの対比を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Wasserstein ball を不確実性集合とする場合に、データ駆動の確率制約プログラムを正確に再定式化するにはどうすればよいか。
• RQ2 Wasserstein ambiguity の下で個別および結合の確率制約の再定式化の計算形はどうなるか。
• RQ3 これらの再定式化は混合整数円錐計画として表現可能か、一般的なノルムでは MILP になるか。
• RQ4 数値実験において、これらのアプローチは既存のデータ駆動最適化スキームとどのように比較されるか。

主な発見

• Wasserstein balls に対するデータ駆動の確率制約の正確な決定論的再定式化が得られ、混合整数円錐計画となる。
• ground norm が 1-norm または ∞-norm の場合、再定式化は混合整数線形計画へ簡約される。
• affine な safety sets を伴う個別の確率制約については、再定式化が凸-凹変換を介して ICC-MILP 形に到達しうる（Proposition 2.6）。
• Unsafe set への εN 最小距離の和を線形計画を用いて表現することで、凸的再定式化を達成する（Theorem 2.2 および Lemma 2.4）。
• このアプローチは右辺不確実性を伴う個別および結合の確率制約の両方に適用でき、数値試験では最先端のデータ駆動スキームと比較して有利であると主張されている。
• 本研究は φ-発散の曖昧さセットに対する制約を回避する堅牢な代替として Wasserstein ベースの DRO を位置づける。