[論文レビュー] Data-Driven Closure of Projection-Based Reduced Order Models for Unsteady Compressible Flows

Victor Zucatti, William Wolf|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 62被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非定常圧縮流体の射影型低次元モデル（ROM）に対して、適応的固有値分解（POD）時間モードを用いたデータ駆動型閉じ込め枠組みを提案する。ガレルキン法および最小二乗ガレルキン・ペトロフ法（LSPG）ROMに線形および非線形補正係数を追加し、フルオーダーモデルのスナップショットに対する誤差を最小化することで、安定かつ高精度な解が得られる。特に非線形係数とハイパーレダクションを組み合わせた場合に顕著であり、円柱流れおよび困難な上下運動翼の動的スタール問題において実証された。

ABSTRACT

A data-driven closure modeling based on proper orthogonal decomposition (POD) temporal modes is used to obtain stable and accurate reduced order models (ROMs) of unsteady compressible flows. Model reduction is obtained via Galerkin and Petrov-Galerkin projection of the non-conservative compressible Navier-Stokes equations. The latter approach is implemented using the least-squares Petrov-Galerkin (LSPG) technique and the present methodology allows pre-computation of both Galerkin and LSPG coefficients. Closure is performed by adding linear and non-linear coefficients to the original ROMs and minimizing the error with respect to the POD temporal modes. In order to further reduce the computational cost of the ROMs, an accelerated greedy missing point estimation (MPE) hyper-reduction method is employed. A canonical compressible cylinder flow is first analyzed and serves as a benchmark. The second problem studied consists of the turbulent flow over a plunging airfoil undergoing deep dynamic stall. For the first case, linear and non-linear closure coefficients are both low in intrusiveness, capable of providing results in excellent agreement with the full order model. Regularization of calibrated models is also straightforward for this case. On the other hand, the dynamic stall flow is significantly more challenging, specially when only linear coefficients are used. Results show that non-linear calibration coefficients outperform their linear counterparts when a POD basis with fewer modes is used in the reconstruction. However, determining a correct level of regularization is more complicated with non-linear coefficients. Hyper-reduced models show good results when combined with non-linear calibration and an appropriate sized POD basis.

研究の動機と目的

• 非定常圧縮流体の射影型ROMの安定性および精度を向上させるデータ駆動型閉じ込め手法を開発すること。
• ガレルキン法およびLSPG射影によって導出されたROMにおける線形係数と非線形係数の補正性能を評価すること。
• オンライン計算コストを低減するため、加速されたグリーディー欠損点推定（MPE）ハイパーレダクション技術を統合すること。
• 標準的および極めて複雑な乱流問題、特に深く発現する動的スタール問題に対する本手法のロバスト性を評価すること。

提案手法

• 高精度なシミュレーションスナップショットから空間モードおよび時間モードを抽出するために、適応的固有値分解（POD）を用いる。
• 非保存形の圧縮流体ナビエ-ストークス方程式にガレルキン法および最小二乗ガレルキン・ペトロフ法（LSPG）射影を適用し、ROMを導出する。
• ROMの誤差を補正するために、線形および非線形補正係数を導入し、ROMとPOD時間モードの差分を最小化する。
• 計算コストを低減するために、線形近似を用いた非線形最適化アプローチを採用し、効率的な補正を可能にする。
• オンラインコストを最小限に抑えるために、加速されたグリーディー欠損点推定（MPE）ハイパーレダクション手法を適用し、事前に削減統合領域を計算する。
• ROMおよびハイパーレダクション係数をすべて事前計算（オフライン）で行い、高速なオンライン評価を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形および非線形係数を用いたデータ駆動型補正は、非定常圧縮流体のガレルキン法およびLSPG ROMの安定性および精度を向上させることができるか？
• RQ2 PODモード数および流れの複雑さに応じて、線形補正と非線形補正の性能はどのように変化するか？
• RQ3 非線形補正と組み合わせたMPEによるハイパーレダクションは、複雑な乱流流れにおいても精度を保持できるか？
• RQ4 正則化は、特に数値的に不安定な最適化問題が生じる状況下での非線形ROM補正にどのように影響を与えるか？
• RQ5 非線形補正により、動的スタールのような極めて非定常的かつカオス的であるとされる流れにおいて、少ないPODモード数で高精度なROMを実現できるか？

主な発見

• 標準的円柱流れにおいて、線形および非線形補正係数の両方が、補正なしROMの振幅誤差を効果的に是正した。補正後の解は、フルオーダーモデルと視覚的に区別がつかなかった。
• 動的スタールケースでは、非線形補正が線形補正を上回り、特にPOD基底を縮小した場合（例：8モード）に顕著であった。線形補正のみのモデルでは失敗したが、非線形補正を用いたモデルは安定かつ高精度な結果を得た。
• 非線形補正と組み合わせたハイパーレダクションROMは、やや少ないPOD基底（8〜12モード）でも良好な精度と安定性を達成したが、補正演算子はギャップなしROMに比べてより侵襲的であった。
• 非線形補正のL曲線は明確なコーナーを示しており、正則化の選定が容易であった。一方、動的スタールケースではL曲線の特徴がやや不明瞭であったため、正則化の選定がより困難であった。
• 本手法は、非線形補正により、乱流的かつ非定常的な流れにおいて複雑な流れのダイナミクスを少ないモード数で効果的に捉えることができることを示した。これにより、大規模な基底サイズの必要性が低減された。
• 高モード数の動的スタールケースでは収束性および正則化の問題が生じたが、非線形補正とハイパーレダクションを組み合わせることで、補正なしモデルが失敗する中でも、安定かつ高精度な長期積分が可能となった。