[論文レビュー] Data-driven discovery of partial differential equations

Samuel Rudy|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2016

Time Series Analysis and Forecasting被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、固定された空間的位置（Eulerian）または動的と連動する位置（Lagrangian）で収集された時系列データから、支配的偏微分方程式（PDE）を同定するためのスパース回帰手法PDE-FINDを紹介する。スパース性を促進する回帰とPareto解析を活用することで、ナビエ＝ストークス方程式、コルトウェーグ＝デ・ブリス方程式、シュレーディンガー方程式といった物理的に意味のあるスパースなPDEを、ノイズや間引き処理が加えられた状況下でも正確に同定可能であり、第一原理的導出が困難な複雑系における物理法則の同定を可能にする。

ABSTRACT

We propose a sparse regression method capable of discovering the governing partial differential equation(s) of a given system by time series measurements in the spatial domain. The regression framework relies on sparsity promoting techniques to select the nonlinear and partial derivative terms terms of the governing equations that most accurately represent the data, bypassing a combinatorially large search through all possible candidate models. The method balances model complexity and regression accuracy by selecting a parsimonious model via Pareto analysis. Time series measurements can be made in an Eulerian framework where the sensors are fixed spatially, or in a Lagrangian framework where the sensors move with the dynamics. The method is computationally efficient, robust, and demonstrated to work on a variety of canonical problems of mathematical physics including Navier-Stokes, the quantum harmonic oscillator, and the diffusion equation. Moreover, the method is capable of disambiguating between potentially non-unique dynamical terms by using multiple time series taken with different initial data. Thus for a traveling wave, the method can distinguish between a linear wave equation or the Korteweg-deVries equation, for instance. The method provides a promising new technique for discovering governing equations and physical laws in parametrized spatio-temporal systems where first-principles derivations are intractable.

研究の動機と目的

• 空間的・時間的測定データから、支配的偏微分方程式（PDE）をデータ駆動で同定する手法の開発。
• 特に神経科学、疫学、流体力学などの複雑系において、第一原理的導出が困難な状況下でPDEを同定する課題の克服。
• Pareto解析を用いてスパarsityと精度の最適なトレードオフを実現するスパース回帰を活用し、PDEのロバストな同定を可能にする。
• 非線形的・散逸的系を含む、数学的物理学の代表的モデルに対して、本手法の有効性を検証する。
• 異なる初期条件を持つ複数の時系列データを用いて、非一意な力学的項の区別を可能にする。

提案手法

• 本手法は、時系列データから状態変数の非線形関数および空間微分を含む、多数の候補項のライブラリを構築する。
• L0ノルムの最小化を用いてスパース性を促進し、データを最もよく表現する最小限の項の集合をスパース回帰で同定する。
• データの間引きを実行しながらも回帰精度を維持するため、圧縮センシング技術を用いて計算コストを低減する。
• 固定センサー（Eulerian）と動的センサー（Lagrangian）の両方のデータ収集フレームワークをサポートし、異なる測定状況に対応する。
• Pareto解析を用いてモデルの複雑さと回帰誤差のバランスを最適化し、スパarsityと精度の最適なトレードオフを選択する。
• 本手法はPDE-FIND（PDE Functional Identification of Nonlinear Dynamics）として実装されており、オープンソースのコードが提供されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパース回帰を、単なる常微分方程式ではなく、時系列データから偏微分方程式を同定する応用に拡張可能か？
• RQ2 EulerianおよびLagrangianフレームワーク下で、ノイズが加えられたりサンプリングが不完全な状況下でも、空間微分および非線形項をどのようにロバストに同定できるか？
• RQ3 非一意な力学的モデル（例：線形波動方程式とKorteweg-de Vries方程式の区別）を同定できるか？
• RQ4 ノイズやデータの間引き処理に対して、どの程度の耐性を持ち、真の支配的PDEを正確に回復できるか？
• RQ5 トレーニングデータに存在しないパrameter領域（例：ナビエ＝ストークス方程式の高レイノルズ数領域）に対しても、本手法は一般化可能か？

主な発見

• ノイズなしでは再構成誤差1% ± 0.2%、1%ノイズ下では7% ± 6%の誤差で、Re = 100のナビエ＝ストークス方程式が同定可能であった。
• Korteweg-de Vries（KdV）方程式に対しても、ノイズなしでは1% ± 0.2%、1%ノイズ下では7% ± 5%の誤差を達成し、全データの2.22%しか使用しない間引き処理でも同様の精度を示した。
• シュレーディンガー方程式に対しても、ノイズなしでは0.25% ± 0.01%、1%ノイズ下では10% ± 7%の誤差で正確に同定された。
• 反応拡散系では、ノイズなしでは0.02% ± 0.01%、0.5%ノイズ下では3.8% ± 2.4%の誤差を示し、中程度のノイズ下でもロバストであることを示した。
• Re = 100でトレーニングしたモデルを用いて、Re = 10,000の乱流ナビエ＝ストークス力学を正確に予測可能であり、トレーニング範囲を超えた一般化能力を示した。
• 異なる初期条件を複数用いることで、KdV方程式と線形波動方程式の区別が可能となり、ソリトン力学における競合するPDEの区別に成功した。