[論文レビュー] Data-driven Efficient Solvers and Predictions of Conformational Transitions for Langevin Dynamics on Manifold in High Dimensions.

Yuan Gao, Jianguo Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2020

Gaussian Processes and Bayesian Inference参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、拡散マップを用いて導出された反応座標を用いて、多様体上のFokker-Planck方程式を解くためのデータ駆動型で、無条件安定な上流差分スキームを提案する。ガウス過程回帰を活用して平衡ポテンシャルを推定し、軌道を高次元空間に再投影することで、高次元系におけるコンformational遷移の効率的で構造を保全するシミュレーションが可能になる。

ABSTRACT

We work on dynamic problems with collected data $\{\mathsf{x}_i\}$ that distributed on a manifold $\mathcal{M}\subset\mathbb{R}^p$. Through the diffusion map, we first learn the reaction coordinates $\{\mathsf{y}_i\}\subset \mathcal{N}$ where $\mathcal{N}$ is a manifold isometrically embedded into an Euclidean space $\mathbb{R}^\ell$ for $\ell \ll p$. The reaction coordinates enable us to obtain an efficient approximation for the dynamics described by a Fokker-Planck equation on the manifold $\mathcal{N}$. By using the reaction coordinates, we propose an implementable, unconditionally stable, data-driven upwind scheme which automatically incorporates the manifold structure of $\mathcal{N}$. Furthermore, we provide a weighted $L^2$ convergence analysis of the upwind scheme to the Fokker-Planck equation. The proposed upwind scheme leads to a Markov chain with transition probability between the nearest neighbor points. We can benefit from such property to directly conduct manifold-related computations such as finding the optimal coarse-grained network and the minimal energy path that represents chemical reactions or conformational changes. To establish the Fokker-Planck equation, we need to acquire information about the equilibrium potential of the physical system on $\mathcal{N}$. Hence, we apply a Gaussian Process regression algorithm to generate equilibrium potential for a new physical system with new parameters. Combining with the proposed upwind scheme, we can calculate the trajectory of the Fokker-Planck equation on $\mathcal{N}$ based on the generated equilibrium potential. Finally, we develop an algorithm to pullback the trajectory to the original high dimensional space as a generative data for the new physical system.

研究の動機と目的

• 高次元多様体上のFokker-Planckダイナミクスの効率的で安定な数値的解法を、データ駆動型次元削減を用いて実現すること。
• 幾何的構造を保ち、無条件安定性を保証する多様体に適応した数値スキームの開発。
• ガウス過程回帰を用いて平衡ポテンシャルを学習することで、未知のパラメータを有する新しい物理系におけるコンformational遷移の予測。
• 低次元ダイナミクスを元の空間に再投影することで、新しい系の高次元軌道を生成すること。
• 最小エネルギー経路や最適粗粒度ネットワークの同定を含む、粗粒度モデリングタスクを支援すること。

提案手法

• 高次元データから反応座標を抽出するために拡散マップを適用し、多様体を低次元ユークリッド空間に等長埋め込みする。
• 下位幾何を尊重する、データ駆動型で無条件安定な上流差分スキームを反応座標多様体上に構築する。
• 重み付き $L^2$ 収束解析を用いて、Fokker-Planck方程式に対する上流スキームの理論的安定性と精度を確立する。
• 類似系からの既存データを用いてトレーニングされたガウス過程回帰により、新しい物理系の平衡ポテンシャルをモデル化する。
• 推定されたポテンシャルと上流スキームを用いて、低次元多様体上でFokker-Planckダイナミクスをシミュレートする。
• 得られた低次元軌道を元の高次元空間に再投影し、新しい系のための合成データを生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 観測データのみを用いて、高次元多様体上のFokker-Planckダイナミクスを効率的かつ安定にシミュレートする方法は何か？
• RQ2 反応座標は、コンformational遷移の正確で安定な数値近似を可能にする役割を果たすか？
• RQ3 完全な再シミュレーションなしに、未知のパラメータを有する新しい物理系に一般化できるか？
• RQ4 データ駆動型上流スキームは、下位多様体の幾何的構造を保ちながら、数値的安定性を確保できるか？
• RQ5 低次元ダイナミクスと学習されたポテンシャルに基づいて、高精度で高次元の軌道を新しい系に生成できるか？

主な発見

• 提案された上流スキームは無条件安定であり、反応座標空間の多様体構造を自動的に組み込む。
• 重み付き $L^2$ 収束解析により、Fokker-Planck方程式に対する数値スキームの理論的精度と頑健性が確認された。
• ガウス過程回帰により、未知のパラメータを有する新しい物理系の平衡ポテンシャルを信頼性高く推定可能である。
• 低次元ダイナミクスを再投影することで、高次元軌道を効果的に生成でき、新しい系のためのデータ生成が可能になった。
• 最近傍隣接遷移に基づくマルコフ連鎖の定式化により、最小エネルギー経路や最適粗粒度ネットワークの直接計算が可能となった。
• 本フレームワークにより、系のポテンシャルエネルギー面の明示的知識がなくても、コンformational遷移の効率的シミュレーションが可能となった。