[論文レビュー] Data-Driven Feedback Linearization using the Koopman Generator

Darshan Gadginmath, Vishaal Krishnan+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、実験データから状態および制御変換を同定するためのデータ駆動型フィードバック線形化手法KGFLを提案する。この手法は、Koopman生成子を用いることで、システムがフィードバック線形可能である場合に正確な線形化を達成する。本手法は幾何的制御理論と作用素論的Koopman解析を統合し、有限次元で冪零なKoopman生成子を可能にするとともに、辞書が完全な場合にはモデルベースの解を正確に回復可能である。

ABSTRACT

This paper contributes a theoretical framework for data-driven feedback linearization of nonlinear control-affine systems. We unify the traditional geometric perspective on feedback linearization with an operator-theoretic perspective involving the Koopman operator. We first show that if the distribution of the control vector field and its repeated Lie brackets with the drift vector field is involutive, then there exists an output and a feedback control law for which the Koopman generator is finite-dimensional and locally nilpotent. We use this connection to propose a data-driven algorithm Koopman Generator-based Feedback Linearization (KGFL) for feedback linearization. Particularly, we use experimental data to identify the state transformation and control feedback from a dictionary of functions for which feedback linearization is achieved in a least-squares sense. We also propose a single-step data-driven formula which can be used to compute the linearizing transformations. When the system is feedback linearizable and the chosen dictionary is complete, our data-driven algorithm provides the same solution as model-based feedback linearization. Finally, we provide numerical examples for the data-driven algorithm and compare it with model-based feedback linearization. We also numerically study the effect of the richness of the dictionary and the size of the data set on the effectiveness of feedback linearization.

研究の動機と目的

• モデルベースのフィードバック線形化とデータ駆動型制御の間のギャップを埋めるために、幾何的制御理論とKoopman作用素理論を統合すること。
• システムの動的特性を明示的に知らなくても、実験的軌道のみを用いて状態および制御変換を同定するデータ駆動型アルゴリズムを開発すること。
• Koopman生成子が有限次元かつ冪零となる理論的条件を確立すること。これは、フィードバック線形可能システムに対応する。
• 辞書が完全な場合に、提案手法がモデルベースのフィードバック線形化と同一の解を回復できることを示すこと。
• 辞書の豊かさ、データセットのサイズ、サンプリングレートがデータ駆動型フィードバック線形化の性能に与える影響を調査すること。

提案手法

• 本手法は、Hermite多項式や正弦関数などの観測量の辞書を用いて、状態変換 $ H(x) $ および制御フィードバック $ u = \alpha(x) + \beta(x)v $ を最小二乗最適化フレームワークで表現する。
• フィードバック線形化問題を、有限次元かつ局所的に冪零なKoopman生成子行列を同定する問題として定式化する。これは、線形化変換の存在に相当する。
• 動的モード分解（DMD）または拡張DMD（EDMD）を用いて、観測量の有限次元部分空間における生成子をデータから近似することで、Koopman生成子を計算する。
• 反復的最適化を回避するため、1ステップのデータ駆動型公式を導出することで、直接的に線形化変換をデータから計算する。
• 変換後のシステムのKoopman生成子が冪零であることを保証することで、動的特性の有限次元線形表現の存在を示す。
• 本手法は、Van der Pol振動子と3次元非線形系の数値的実験により検証され、モデルベースのフィードバック線形化および他のデータ駆動ベースラインと性能を比較した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フィードバック線形可能システムのKoopman生成子が、どのような条件下で有限次元かつ冪零になるか？
• RQ2 辞書が完全な場合に、データ駆動型アルゴリズムがモデルベースのフィードバック線形化と同一の状態および制御変換を回復できるか？
• RQ3 辞書の豊かさとデータセットサイズが、学習されたフィードバック線形化変換の精度にどのように影響するか？
• RQ4 サンプリングレートがデータ駆動型フィードバック線形化アルゴリズムの性能に与える影響は何か？
• RQ5 提案手法は、不安定な内部ダイナミクスを避けるために、出力フィードバック線形化における安定なゼロダイナミクスを達成できるか？

主な発見

• 辞書が完全な場合、提案されたKGFLアルゴリズムは、モデルベースのフィードバック線形化と同等の性能を達成し、近似誤差に起因するわずかなオーバーシュートと安定化時間の差異を除いて、差異は最小限にとどまる。
• モデルベース線形化からの逸脱を測る損失 $ Q_T $ は、Hermite多項式の次数3までで増加するが、4次以上では過学習のため増加する。
• データセットサイズを100から800サンプルに増加させると、平均損失は一様に減少し、より多くのデータが学習性能の向上に寄与することが示された。
• Van der Pol振動子において、サンプリング間隔は性能にほとんど影響を及ぼさず、0.001という遅いサンプリングレートでも顕著な性能低下は観察されなかった。
• Hermite多項式（3次まで）と $ \sin(x) $ を含む辞書を用いて、3次元非線形系が正常に安定化された。これは、低次元系にとどまらずスケーラビリティを示している。
• KGFLは、[11]、[19]、[21] などの既存のデータ駆動型手法を上回り、全状態および出力フィードバック線形化タスクにおいて、複雑な系の安定化において特に優れた性能を示した。