[論文レビュー] Data-Driven Filtered Reduced Order Modeling Of Fluid Flows

Xuping Xie, Muhammad Mohebujjaman+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2017

Model Reduction and Neural Networks参考文献 43被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、空間フィルタリングとデータ駆動型モデリングを組み合わせることで、標準の射影ベースROMよりも精度を向上させるデータ駆動型フィルタード還元秩序モデル（DDF-ROM）を提案する。ROMを解像済みモードと未解像モードに分離するフィルタリングと、最適化を用いたデータ駆動型係数による閉じ込みにより、DDF-ROMは特にモード数が少ない場合に顕著に高い精度を達成するが、標準ROMと同等の計算効率を維持する。

ABSTRACT

We propose a data-driven filtered reduced order model (DDF-ROM) framework for the numerical simulation of fluid flows. The novel DDF-ROM framework consists of two steps: (i) In the first step, we use explicit ROM spatial filtering of the nonlinear PDE to construct a filtered ROM. This filtered ROM is low-dimensional, but is not closed (because of the nonlinearity in the given PDE). (ii) In the second step, we use data-driven modeling to close the filtered ROM, i.e., to model the interaction between the resolved and unresolved modes. To this end, we use a quadratic ansatz to model this interaction and close the filtered ROM. To find the new coefficients in the closed filtered ROM, we solve an optimization problem that minimizes the difference between the full order model data and our ansatz. We emphasize that the new DDF-ROM is built on general ideas of spatial filtering and optimization and is independent of (restrictive) phenomenological arguments. We investigate the DDF-ROM in the numerical simulation of a 2D channel flow past a circular cylinder at Reynolds number $Re=100$. The DDF-ROM is significantly more accurate than the standard projection ROM. Furthermore, the computational costs of the DDF-ROM and the standard projection ROM are similar, both costs being orders of magnitude lower than the computational cost of the full order model. We also compare the new DDF-ROM with modern ROM closure models in the numerical simulation of the 1D Burgers equation. The DDF-ROM is more accurate and significantly more efficient than these ROM closure models.

研究の動機と目的

• 解像されないモードの相互作用が原因で、モード数が少ない場合に標準の射影ベース還元秩序モデル（Proj-ROMs）が不正確になる問題に対処する。
• 渦粘性などの制限的な現象論的仮定に依存する伝統的なROM閉じ込みモデルの限界を克服する。
• 完全秩序モデル（FOM）のデータを活用して未解像モードの効果をモデル化する一般化可能で現象論的でないROM閉じ込みフレームワークを構築する。
• 特に低次元表現において、流体力学的問題の還元秩序シミュレーションにおける計算効率と精度を向上させる。
• 物理的仮定を最小限に抑えて、流体力学をはるかに超えた非線形PDEに対しても適用可能な柔軟でデータ駆動型のアプローチを確立する。

提案手法

• 完全秩序モデル（FOM）に明示的な空間フィルタリングを適用し、解像済みモードと未解像モードに分離するフィルタードROM（F-ROM）を導出する。
• 低次元空間へのガレルキン射影を用いて、非線形性のため閉じられていない非閉じられた力学系を構築する。
• 未解像モードと解像モードの相互作用を、サブフィルタースケール応力テンソル $\boldsymbol{\tau}_r^{SFS}$ の二次的アンサンブルによってモデル化する。
• FOMデータとアンサンブルとの間の最小二乗誤差を最小化する最適化問題を解き、二次的アンサンブュルの係数を決定する。
• 射影ベースROMとデータ駆動型閉じ込みのハイブリッドとして最終的なDDF-ROMを構築し、物理的現象論に依存しない。
• 検証と比較のため、Re=100の2次元円柱の流れと1次元バーガース方程式にこのフレームワークを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 データ駆動型フィルタードROMフレームワークは、流体流れのシミュレーションにおいて、標準の射影ベースROMよりも精度を向上させることができるか？
• RQ2 DDF-ROMは、LES-ROMsなどの最先端のROM閉じ込みモデルと比較して、精度と計算コストの両面で優れているか？
• RQ3 標準のProj-ROMが失敗するような、少ない数の還元モードでも、DDF-ROMは高い精度を維持できるか？
• RQ4 DDF-ROMフレームワークは、流体力学をはるかに超えた他の非線形PDEに対しても、どれほど一般化可能か？
• RQ5 エネルギー保存などの物理的制約を組み込んだ制約付き最適化と比較して、非制約最適化による閉じ込みの使用は、どのように評価されるか？

主な発見

• 2次元円柱の流れ（Re=100）のシミュレーションにおいて、DDF-ROMは標準のガレルキンROM（G-ROM）よりも顕著に高い精度を達成したが、特にモード数が少ない場合に顕著であった。
• 1次元バーガース方程式では、$r=15$モードでDDF-ROMは次に優れた手法（AD-ROM）と比較して誤差を最大55％まで低減し、誤差は0.0532から0.0446に低下した。
• DDF-ROMは最先端のLES-ROMsよりも著しく効率的であり、$r=15$モードでCPU時間が最大30％短縮された。
• すべてのテストモード数（$r=6,10,15$）において、DDF-ROMはL-ROM-DF、EF-ROM、AD-ROMを精度と効率の両面で上回った。
• フレームワークの計算コストは、完全秩序モデルと比較して桁違いに低く、高い精度を維持した。
• DDF-ROMの性能は、やや精度が低いDDF-ROM-linearバージョンを用いても安定しており、より高次アンサンブュルを用いることでさらなる改善が期待できる可能性を示唆している。