[論文レビュー] Data-Driven Finite Elements Methods: Machine Learning Acceleration of Goal-Oriented Computations

Ignacio Brevis, Ignacio Muga+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Petrov-Galerkin式における試験関数の最適化に機械学習を用いるデータ駆動型有限要素法を提案する。この手法により、粗いメッシュ上でも目的関数の高精度な近似が可能になる。重み付き双対ノルムにおける残差最小化により、ニューラルネットワークを用いて重み関数をパrameter化することで、試験空間を最適化する。標準FEMに比べて優れた精度を達成し、1次元拡散問題では正確な回復が実証されている。

ABSTRACT

We introduce the concept of data-driven finite element methods. These are finite-element discretizations of partial differential equations (PDEs) that resolve quantities of interest with striking accuracy, regardless of the underlying mesh size. The methods are obtained within a machine-learning framework during which the parameters defining the method are tuned against available training data. In particular, we use a stable parametric Petrov-Galerkin method that is equivalent to a minimal-residual formulation using a weighted norm. While the trial space is a standard finite element space, the test space has parameters that are tuned in an off-line stage. Finding the optimal test space therefore amounts to obtaining a goal-oriented discretization that is completely tailored towards the quantity of interest. As is natural in deep learning, we use an artificial neural network to define the parametric family of test spaces. Using numerical examples for the Laplacian and advection equation in one and two dimensions, we demonstrate that the data-driven finite element method has superior approximation of quantities of interest even on very coarse meshes

研究の動機と目的

• 粗いメッシュ上での目的関数指向の有限要素計算を高速化するための機械学習フレームワークの開発。
• 標準FEMを用いた粗い離散化において、目的関数（QoI）の高精度を達成する課題に対処すること。
• 試験空間のみがトレーニング可能であるが、安定かつ一貫性のあるパラメトリックPetrov-Galerkin法を設計すること。
• データ駆動型の試験関数チューニングが、特定のQoIに対して最適な最小残差解をもたらすことを示すこと。
• 重み付き双対ノルムにおける最小残差式への等価性を用いて、理論的安定性を確立すること。

提案手法

• 試験空間がニューラルネットワークで定義する重み関数によってパラメトリックに表現される、パラメトリックPetrov-Galerkin式を用いる。試験空間は、パラメトリック重み関数に基づく離散的試験関数変換演算子を用いて構築され、重み付き双対ノルムにおける最小残差式への等価性により安定性を保証する。
• トレーニングプロセスは、細かいメッシュ上で生成された高精度なトレーニングデータに対する目的関数の誤差に基づく損失関数を最小化することで実行される。
• 本手法は、離散的双対ノルムにおける残差の最小化と等価であり、QoIの最適収束と安定性を保証する。
• 重み関数を表現するため、最大20パラメータを持つニューラルネットワークを用い、柔軟かつ適応的な試験空間のパラメトリック表現を可能にする。
• オフライントレーニングフェーズでは、QoI誤差に基づく損失関数を用いてニューラルネットワークの重みを最適化し、オンライン評価では訓練済みモデルを用いて高速な解計算を実行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 機械学習を用いて有限要素法における試験関数を最適化することで、粗いメッシュ上でも目的関数の精度を向上させることができるか？
• RQ2 試験空間がトレーニング可能でありながらも、安定性を保つパラメトリックPetrov-Galerkin法をどのように構築できるか？
• RQ3 ニューラルネットワークが試験空間を定義する役割を果たす仕組みは何か？また、それがQoI近似の高精度を実現する仕組みは何か？
• RQ4 データ駆動型手法が、1自由度の1次元拡散問題など、自由度が最小限の問題においてQoIの正確な回復を達成できるか？
• RQ5 パラメトリック化された重み関数の豊かさが、手法の性能と収束性に与える影響は何か？

主な発見

• データ駆動型有限要素法は、非常に粗いメッシュ上でも目的関数の精度が顕著に高く、標準ガレルキン法を上回る。
• 1自由度の1次元拡散問題では、重み関数が十分に豊かであれば、QoIの正確な回復が達成される。
• 重み付き双対ノルムにおける最小残差式への等価性により、安定かつ収束性を有する。
• 数値実験により、1次元および2次元のラプラス方程式および対流方程式において、粗い離散化でもQoIの精度が顕著に向上することが示された。
• 試験空間のパラメトリック表現にニューラルネットワークを用いることで、試験空間を変更せずに目的関数指向の適応が可能になる。
• 事前誤差推定では、収束率がプロジェクターノルムに依存し、重み関数とinf-sup定数の比によって上限が定まる。