[論文レビュー] Data-driven MPC with stability guarantees using extended dynamic mode decomposition

Lea Bold, Lars Grüne+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2023

Model Reduction and Neural Networks被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Koopman枠組み内での拡張動的モード分解（eDMD）を用いたデータ駆動型モデル予測制御（MPC）における実用的漸近的安定性を確立する。状態に依存する誤差バウンドを導出し、システムが平衡点に近づくにつれてそのバウンドが消えることを示し、元のシステムのコスト可制御性を活用することで、eDMDに基づくMPCが原点における実用的漸近的安定性を保証することを証明した。非線形系、例えばヴァン・デル・ポール振動子や振り子のシミュレーションにより検証された。

ABSTRACT

For nonlinear (control) systems, extended dynamic mode decomposition (EDMD) is a popular method to obtain data-driven surrogate models. Its theoretical foundation is the Koopman framework, in which one propagates observable functions of the state to obtain a linear representation in an infinite-dimensional space. In this work, we prove practical asymptotic stability of a (controlled) equilibrium for EDMD-based model predictive control, in which the optimization step is conducted using the data-based surrogate model. To this end, we derive novel bounds on the estimation error that are proportional to the norm of state and control. This enables us to show that, if the underlying system is cost controllable, this stabilizablility property is preserved. We conduct numerical simulations illustrating the proven practical asymptotic stability.

研究の動機と目的

• eDMDに基づく代替モデルを用いたデータ駆動型MPCにおける実用的漸近的安定性の理論的保証を確立すること。
• 既存のeDMD-MPC手法における、持ち上げられた空間における最適化と元の状態空間ダイナミクスとの間の整合性の欠如を解決すること。
• eDMD代替モデルの誤差が、システム状態が平衡点に近づくにつれて小さくなることを示すこと。
• 二次段階コストに対して、元の非線形システムのコスト可制御性が、データ駆動型代替モデルに保たれることを示すこと。
• 非線形制御アフィン系における数値シミュレーションを通じて理論的発見を検証すること。

提案手法

• 非線形制御アフィン系を無限次元線形空間へ持ち上げるKoopman枠組みを用い、eDMDによる線形近似を可能にする。
• 有限の観測関数の辞書を用いて、eDMDに基づくバイリニア代替モデルを構築し、Koopman作用素を近似する。
• 持ち上げられた状態が原点に近づくにつれてゼロに収束する状態依存誤差バウンドを導出し、一様誤差バウンドに代える。
• 元のシステムのコスト可制御性に基づいて導出された緩和されたラプラスポス不等式条件を用い、実用的漸近的安定性を確立する。
• Runge-Kutta積分に基づく数値近似フレームワークを用いてトレーニングデータを生成し、閉ループダイナミクスをシミュレートする。
• eDMD代替モデルを用いた標準的なMPC最適化を実装し、状態および制御変数の制約を設け、ノーマルMPCと結果を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代替モデルの誤差が平衡点からの距離に依存する場合、eDMDベースのMPCにおいて実用的漸近的安定性を保証できるか？
• RQ2 元の非線形システムのコスト可制御性が、二次段階コストに対してeDMDベースの代替モデルのコスト可制御性を示唆するか？
• RQ3 eDMD代替モデルの近似誤差は、閉ループ系の収束挙動にどのように影響するか？
• RQ4 提案された誤差バウンドフレームワークは、状態に依存しない一様誤差バウンドを必要とせずに安定性を保証できるか？
• RQ5 eDMD代替モデルの品質が、閉ループMPCシミュレーションにおける達成可能な収束精度にどの程度制限を及えるか？

主な発見

• eDMD代替モデルの誤差バウンドは、持ち上げられた状態が原点に近づくにつれて消えるため、平衡点付近でのより鋭い安定性解析が可能になる。
• ヴァン・デル・ポール振動子および単純な振り子の両方において、eDMDベースのMPCは実用的漸近的安定性を達成し、収束が約 $10^{-8}$ で止まることが示された。これは近似品質に起因する限界を示している。
• 最適値関数 $V_N^{ ext{eDMD}}$ は、原点の近傍を除いてのみ減少するため、グローバル漸近的安定性ではなく実用的漸近的安定性であることが確認された。
• ノーマルMPCは値関数の厳密な単調減少を示すが、eDMDベースのMPCは理論的予測と一致して、実用的漸近的安定性にとどまる。
• 二次段階コストの下で、元のシステムのコスト可制御性はeDMD代替モデルに保たれ、安定性保証が可能になる。
• 予測ホライズン $N$ を増加させることで収束速度が向上するが、最終的な収束ノルムは減少せず、近似誤差がボトルネックであることが示された。