[論文レビュー] Data-driven peakon and periodic peakon travelling wave solutions of some nonlinear dispersive equations via deep learning

Li Wang, Zhenya Yan|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2021

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 37被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、カマッサ＝ホルム、デガスペリス＝プロセイ、ノヴィコフ方程式などの非線形分散方程式におけるデータ駆動型ピークオンおよび周期的ピークオン解を発見するための物理情報付きニューラルネットワーク（PINN）フレームワークを提案する。初期および境界条件に深層ニューラルネットワークを訓練し、損失最小化を実行することで、ピークオン解の高精度な近似が達成され、L2誤差が1.96e-02まで低下するなど、不連続な波動ダイナミクスを捉えるPINNの有効性が示された。

ABSTRACT

In the field of mathematical physics, there exist many physically interesting nonlinear dispersive equations with peakon solutions, which are solitary waves with discontinuous first-order derivative at the wave peak. In this paper, we apply the multi-layer physics-informed neural networks (PINNs) deep learning to successfully study the data-driven peakon and periodic peakon solutions of some well-known nonlinear dispersion equations with initial-boundary value conditions such as the Camassa-Holm (CH) equation, Degasperis-Procesi equation, modified CH equation with cubic nonlinearity, Novikov equation with cubic nonlinearity, mCH-Novikov equation, b-family equation with quartic nonlinearity, generalized modified CH equation with quintic nonlinearity, and etc. These results will be useful to further study the peakon solutions and corresponding experimental design of nonlinear dispersive equations.

研究の動機と目的

• 複雑な非線形性を有する非線形分散方程式におけるピークオンおよび周期的ピークオン解を発見するためのディープラーニングフレームワークの開発。
• 微分が不連続な孤立波をデータ駆動手法でモデル化する課題への対処。
• 物理情報付きニューラルネットワーク（PINNs）を用いてピークオン方程式の初期境界値問題に適用し、PDE制約を満たすようにする。
• CH、DP、ノヴィコフ方程式などのベンチマーク方程式に対して、PINN予測解の正確さを数値解および正確解と比較して検証する。

提案手法

• 本研究では、非線形分散方程式 (1−∂x²)ut + N(u,ux,uxx,...) = 0 の形をとる初期境界値問題を解くために、多層物理情報付きニューラルネットワーク（PINNs）を用いる。
• PINNの損失関数は、初期条件、境界条件、およびコロケーション点からのデータ適合性と、空間時間領域におけるPDEの残差最小化を組み合わせる。
• 高精度なトレーニングデータを生成するために、擬スペクトル法が用いられ、フーリエモードと時間ステッピングを用いて定義された領域における解のシミュレーションが行われる。
• ネットワークアーキテクチャは、複雑な波動ダイナミクスをモデル化するため、5〜6層の隠れ層と、1層あたり10〜20ニューロン、双曲正接活性化関数を採用する。
• トレーニングでは、解の整合性を保証するため、1000個のコロケーション点、10個の初期点、10個の境界点、10個の終時刻点を対象に平均二乗誤差（MSE）損失を最小化する。
• 本手法は、非線形性や境界条件が異なるDegasperis-Procesi（DP）、Camassa-Holm（CH）、ノヴィコフ、mCH-Novikov方程式に適用される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理情報付きニューラルネットワーク（PINNs）は、非線形分散方程式における微分が不連続なピークオン解を正確に回復できるか？
• RQ2 周期的境界条件および複雑な非線形項を有する条件下で、PINNsは周期的ピークオン解をどの程度正確に近似できるか？
• RQ3 ベンチマークピークオン方程式（DPおよびCH）に対して、PINN予測解の正確さは数値解および正確解と比較してどの程度か？
• RQ4 ネットワークの深さ、幅、トレーニングデータの分布といったハイパーパrameterは、解の収束性および誤差にどのように影響するか？
• RQ5 PINNsは、b族方程式および一般化されたmCH方程式における異なる非線形性およびパrameter領域に一般化可能か？

主な発見

• PINNフレームワークは、数値解との比較でL2誤差2.74e-02を達成し、Degasperis-Procesi方程式の明るいピークオン解を成功裏に回復した。
• c = -1.05 の場合のDP方程式のダークピークオン解について、学習済み解と数値解との間のL2誤差は3.29e-02であった。
• 本手法は、DP方程式の周期的ピークオン解を正確に捉えた。6層PINNと512個のフーリエモードを用いた場合、L2誤差は1.96e-02にまで低下した。
• PINNモデルは、初期条件や空間時間領域が異なる場合（DP方程式では[-5,5]×[0,3]および[-7,7]×[0,3]）においても、強靭性を示した。
• 本フレームワークは、立方非線形性やそれ以上の高次非線形性を有する一般化されたmCH-Novikov方程式およびb族方程式など、複数のピークオン方程式に成功裏に拡張された。
• 結果から、PINNsが非線形分散PDEにおける複雑で滑らかでない波動解を、高い正確性と一貫性をもって効果的にモデル化できることを確認した。