[論文レビュー] Data-driven Predictive Tracking Control based on Koopman Operators

Ye Wang, Yujia Yang+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2022

Advanced Control Systems Optimization被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ニューラルネットワークを用いて非線形ダイナミクスを線形表現に高次元化するコプマン作用素を用いた、データ駆動型予測制御フレームワーク、Koopman Tracking Model Predictive Control (KTMPC) を提案する。制約のきつさの強化とリャプノフ基づく安定性解析を統合することで、モデル誤差が存在する場合でも、再帰的実行可能性と最適到達可能定常状態の近傍における入力-状態安定性を保証する。数値例および自律走行車両の追従制御において実証された。

ABSTRACT

Constraint handling during tracking operations is at the core of many real-world control implementations and is well understood when dynamic models of the underlying system exist, yet becomes more challenging when data-driven models are used to describe the nonlinear system at hand. We seek to combine the nonlinear modeling capabilities of a wide class of neural networks with the constraint-handling guarantees of model predictive control (MPC) in a rigorous and online computationally tractable framework. The class of networks considered can be captured using Koopman operators, and are integrated into a Koopman-based tracking MPC (KTMPC) for nonlinear systems to track piecewise constant references. The effect of model mismatch between original nonlinear dynamics and its trained Koopman linear model is handled by using a constraint tightening approach in the proposed tracking MPC strategy. By choosing two Lyapunov functions, we prove that solution is recursively feasible and input-to-state stable to a neighborhood of both online and offline optimal reachable steady outputs in the presence of bounded modeling errors under mild assumptions. Finally, we demonstrate the results on a numerical example, before applying the proposed approach to the problem of reference tracking by an autonomous ground vehicle.

研究の動機と目的

• 非線形モデルが利用可能でない状況下で、データのみを用いて時間変動するリファレンスを追従する非線形システムの制御課題に取り組むこと。
• コプマン作用素を介してニューラルネットワークのモデル化能力を予測制御フレームワークに統合し、制約処理と安定性保証を維持すること。
• 有限次元コプマン近似に起因する有界なモデル誤差が存在する状況でも、再帰的実行可能性と入力-状態安定性（ISS）を保証すること。
• 既存のコプマンベースのMPC手法を、制御の定常状態への収束から追従制御へと拡張し、自律システムにおける実用的応用を可能にすること。

提案手法

• 有限次元コプマン作用素を用いて、元の非線形ダイナミクスを高次元空間に高次元化し、ニューラルネットワークや基底関数（例：多項式、RBF）によって近似する。
• システムの軌道とオンラインで決定される最適到達可能定常出力を最適化するコプマンベースの追従MPC（KTMPC）を構築し、再帰的実行可能性を向上させる。
• 真の非線形ダイナミクスとコプマン線形モデルとの間のモデル不一致に対応するため、反復的制約のきつさ戦略を適用し、オンラインで状態および入力制約を満たす。
• 再帰的実行可能性と有界なモデル誤差下での入力-状態安定性（ISS）を保証するために、2つのリャプノフ関数を用いる。
• 2段階のリャプノフ解析を採用：1つは追従誤差に、もう1つは定常状態偏差にそれぞれ対応し、行列ノルムと固有値の性質を用いて境界を導出する。
• オンラインで定常状態のターゲットを最適化する仕組みを統合し、リファレンスの変化に適応しながら安定性と制約満足を維持できるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 データから導出されたコプマンベースの線形モデルが、安定性と制約満足が保証される非線形システムの追従MPCフレームワークに有効に適用可能か？
• RQ2 有限次元コプマン近似に起因するモデル誤差を予測制御フレームワーク内でどのように処理するか？再帰的実行可能性と安定性を維持するには？
• RQ3 有界なモデル誤差下で、最適到達可能定常状態の近傍における閉ループ系の入力-状態安定性（ISS）を保証するリャプノフに基づく条件は何か？
• RQ4 標準MPCやコプマンベースの制御手法と比較して、提案手法KTMPCは追従性能とロバストネスにおいてどのように異なるか？
• RQ5 リフト関数の選択（例：ニューラルネットワーク、多項式）が、コプマンモデルの精度および制御性能に与える影響は何か？

主な発見

• 提案されたKTMPCは、コプマンモデルが真の非線形ダイナミクスの近似である場合でも、有界なモデル誤差下で閉ループ系の再帰的実行可能性を保証する。
• 閉ループ系の入力-状態安定性（ISS）が証明されており、状態は最適到達可能定常状態の近傍に収束する。その近傍の大きさはモデル誤差の大きさに依存する。
• 制約のきつさ戦略はモデル不一致を効果的に処理し、不完全なコプマンモデル下でも、状態および入力制約がリアルタイムで満たされることを保証する。
• 理論的解析により、安定性近傍の大きさが推定誤差の上限に比例することが示され、コプマンモデルの近似品質に明示的な依存関係があることが分かった。
• 数値結果により、データから学習したコプマンモデルを用いて、区分的定数リファレンスの追従が成功裏に実現され、安定かつ制約を満たす挙動が得られた。
• 自律走行車両への応用により、本手法の実用的妥当性が確認され、現実的な動的条件および制約下でも、参考軌道の正確な追従が達成された。