[論文レビュー] Data-driven representations of conical, convex, and affine behaviors

Alberto Padoan, Florian Dörfler+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Gene Regulatory Network Analysis被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、行動システム理論を用いて、離散時間系における円錐的、凸的、アフィン的挙動のデータ駆動型表現を導入する。閉じた、シフト不変の、円錐的、凸的、アフィン的モデルが交差性質を有することを確立し、無限時間データから最も強力な反証されないモデル（MPUM）の構築を可能にする。主な貢献は、ハンケル行列による有限時間スパンのモデル表現の必要十分条件であり、非負のランク条件として表現され、Willemsの基本的補題を非線形的・非部分空間的挙動へ一般化する。

ABSTRACT

The paper studies conical, convex, and affine models in the framework of behavioral systems theory. We investigate basic properties of such behaviors and address the problem of constructing models from measured data. We prove that closed, shift-invariant, conical, convex, and affine models have the intersection property, thereby enabling the definition of most powerful unfalsified models based on infinite-horizon measurements. We then provide necessary and sufficient conditions for representing conical, convex, and affine finite-horizon behaviors using raw data matrices, expressing persistence of excitation requirements in terms of non-negative rank conditions. The applicability of our results is demonstrated by a numerical example arising in population ecology.

研究の動機と目的

• 線形時不変（LTI）システムに限らない行動システム理論を、円錐的、凸的、アフィン的挙動へ拡張すること。
• システムの挙動が部分空間ではなく円錐、凸集合、またはアフィン集合である場合に、測定データからモデルを構築する課題に対処すること。
• このような挙動のデータ駆動型モデルが一意的かつ頑健に同定可能となる条件を確立すること。
• 非負のランク条件を用いて、Willemsの基本的補題を非線形的・非部分空間的挙動へ一般化すること。
• 円錐的および凸的構造が、限られたデータやスパースなデータからモデルを構築可能にする実用的利点を、集団生態学の事例研究を通じて示すこと。

提案手法

• 円錐的、凸的、アフィン的挙動を、非負スケーリング、凸結合、アフィン結合に関して閉じた信号軌道の部分集合として定義する。
• 閉じた、シフト不変の、円錐的、凸的、アフィン的挙動が交差性質を満たすことを証明し、無限時間データから最も強力な反証されないモデル（MPUM）を定義可能とする。
• 測定データから構築したハンケル行列を用いて有限時間スパンのモデルを構築し、挙動をハンケル行列の列空間の凸錐として表現する。
• ハンケル行列の非負のランク条件を用いて、モデル表現の必要十分条件を導出する。これは、LTIシステムにおける持続的励起性要件を一般化する。
• ハールの補題と双対円錐の双対性を用い、データ行列のランクと基礎となるシステムの構造的性質との関係を関係づける。
• 正の線形状態空間系を用いた集団生態学の事例に、このフレームワークを適用し、円錐的構造がデータ駆動型モデリングを簡素化することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円錐的、凸的、アフィン的挙動は、行動システム理論を用いて測定データから体系的かつ一意にモデリング可能か？
• RQ2 有限時間スパンのデータセットが、円錐的、凸的、またはアフィン的挙動を一意に同定する条件は何か？
• RQ3 LTIシステムを超えた非部分空間的挙動へ、持続的励起性条件をどのように一般化できるか？
• RQ4 ハンケル行列の非負のランクが、円錐的および凸的モデル表現のためのデータ情報性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 円錐性や凸性に関する事前知識が、実際のデータ駆動型モデリングにおいて、モデル構築をどのように改善するか？

主な発見

• 閉じた、シフト不変の、円錐的、凸的、アフィン的挙動は交差性質を有し、無限時間データから一意な最も強力な反証されないモデル（MPUM）を定義可能である。
• 有限時間スパンの挙動に関しては、ハンケル行列がデータから構築され、その非負のランクがシステムの次数に入力数を加えた値と等しいとき、かつそのときに限り、モデルはそのハンケル行列の列空間の凸錐として表現可能である。
• 円錐的および凸的モデルにおける持続的励起性条件は、データ行列の非負のランク条件として表現され、Willemsの基本的補題を一般化する。
• 非負のランク条件を満たす場合に、入力-状態データ行列にフルランクの単項式部分行列が存在することは、モデルの回復可能性の必要十分条件である。
• 理論的枠組みにより、正の線形システムの頑健なデータ駆動型モデリングが可能であることが示された。集団生態学の事例研究において、円錐的構造がモデル同定性を顕著に向上させた。
• 提案手法により、円錐的および凸的集合のグローバル構造を活用することで、スパースまたは限られたデータからもモデルを構築可能となり、広範な励起信号の必要性が低減される。