[論文レビュー] Data-Driven Robust Optimization Using Scenario-Induced Uncertainty Sets

Meysam Cheramin, Richard Li-Yang Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2021

Risk and Portfolio Optimization参考文献 22被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、主成分分析（PCA）を用いたデータ駆動型多面体的不確実性集合を提案し、解の tractability（取り扱いやすさ）、保守的さ、ロバスト性のバランスをとるシナリオ誘導型不確実性集合を構築する。相関するシナリオを非相関の主成分に変換し、主要成分に切り詰めることで、解の品質と計算複雑性の直接的なトレードオフを可能にし、最適性ギャップとサンプルサイズ要件について理論的境界を提供する。

ABSTRACT

Uncertainty sets are at the heart of robust optimization (RO) because they play a key role in determining the RO models' tractability, robustness, and conservativeness. Different types of uncertainty sets have been proposed that model uncertainty from various perspectives. Among them, polyhedral uncertainty sets are widely used due to their simplicity and flexible structure to model the underlying uncertainty. However, the conventional polyhedral uncertainty sets present certain disadvantages; some are too conservative while others lead to computationally expensive RO models. This paper proposes a systematic approach to develop data-driven polyhedral uncertainty sets that mitigate these drawbacks. The proposed uncertainty sets are polytopes induced by a given set of scenarios, capture correlation information between uncertain parameters, and allow for direct trade-offs between tractability and conservativeness issue of conventional polyhedral uncertainty sets. To develop these uncertainty sets, we use principal component analysis (PCA) to transform the correlated scenarios into their uncorrelated principal components and to shrink the uncertainty space dimensionality. Thus, decision-makers can use the number of the leading principal components as a tool to trade-off tractability, conservativeness, and robustness of RO models. We quantify the quality of the lower bound of a static RO problem with a scenario-induced uncertainty set by deriving a theoretical bound on the optimality gap. Additionally, we derive probabilistic guarantees for the performance of the proposed scenario-induced uncertainty sets by developing explicit lower bounds on the number of scenarios. Finally, we demonstrate the practical applicability of the proposed uncertainty sets to trade-off tractability, robustness, and conservativeness by examining a range of knapsack and power grid problems.

研究の動機と目的

• 従来の多面体的不確実性集合の限界に対処する。これらはしばしばあまりに保守的であるか、計算コストが高すぎる。
• 相関する不確実パラメータを捉えるデータ駆動型不確実性集合を構築し、計算の取り扱いやすさを向上させる。
• 主成分の数を制御パラメータとして用いることで、ロバスト性、保守的さ、計算効率の間の体系的トレードオフを実現する方法を提供する。
• 静的RO問題におけるロバスト問題の最適値とその下界との間の最適性ギャップに理論的境界を確立する。
• 望ましい信頼水準を達成するための最小シナリオ数を決定することで、性能の確率的保証を導出する。

提案手法

• PCAを用いて歴史的シナリオを主成分に変換し、不確実性の次元を低減し、相関を解消する。
• 最初の $ m_1 $ 個の主成分の凸包として多面体的不確実性集合を構築し、シナリオ誘導型不確実性集合 $ ilde{oldsymbol{ ho}}_{ ext{pca}}(oldsymbol{S}, m_1) $ を形成する。
• 主成分の数 $ m_1 $ を制御パラメータとして用い、ロバスト性と取り扱いやすさのバランスをとる。
• 区分線形目的関数の下で、静的RO問題の最適値とその下界とのギャップの理論的上界を導出する。
• 高い信頼水準で確率的性能保証を達成するための最小シナリオ数の明示的下界を導出する。
• knapsack 問題および電力網問題に本手法を適用し、実際のトレードオフの有効性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来の集合と比較して、相関をよりよく捉え、保守的さを低減するデータ駆動型多面体的不確実性集合をどのように構築できるか？
• RQ2 主成分の数 $ m_1 $ を用いて、計算の取り扱いやすさと解のロバスト性の間の体系的トレードオフをどの程度制御できるか？
• RQ3 シナリオ誘導型不確実性集合を用いた静的RO問題において、ロバスト解とその下界との最適性ギャップにどの程度の理論的境界を確立できるか？
• RQ4 提案された不確実性集合の確率的性能保証を確保するための最小シナリオ数は何か？
• RQ5 電力網やナップサック問題といった実世界の応用において、提案された不確実性集合は標準的な不確実性集合と比較してどの程度の性能を示すか？

主な発見

• 電力網問題において、$ m_1 = 36 $ 個の主成分を用いることで、$ m_1 = m $（全次元）の場合の下界ギャップを15.71から12.37に削減し、ロバスト性を損なわず計算の取り扱いやすさを向上させた。
• $ \rho_1 = 0.9 $ の場合、$ m_1 = 42 $ でギャップが0.61%にまで低下し、$ m_1 $ を大きくすることでよりタイトでロバストな境界が得られ、計算コストも管理可能であることが示された。
• $ \rho_1 = 0.5 $ の場合、電力網問題の解法時間は、$ m_1 $ を全次元にした場合の73.2秒から $ m_1 = 42 $ の場合の2.9秒にまで短縮され、顕著な計算上の利点が確認された。
• ナップサック問題において、本手法はボックス不確実性集合と比較して1.61倍の低い最適性ギャップを達成し、保守的さを低減しつつもロバスト性を維持した。
• 理論的分析により、下界ギャップが有界であることが確認され、信頼水準と次元数に応じて、確率的保証を達成するための必要なシナリオ数が良好にスケーリングすることも示された。
• 実験的結果から、$ m_1 $ が実用的な制御ノブとして機能することが明らかになった。$ m_1 $ を増やすことで境界がタイトになり、ロバスト性が向上する一方、$ m_1 $ を減らすことで取り扱いやすさが向上する。