[論文レビュー] Data-Driven Sensitivity Indices for Models With Dependent Inputs Using the Polynomial Chaos Expansion

Zhanlin Liu, Youngjun Choe|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2018

Probabilistic and Robust Engineering Design被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、入力の従属構造に関する事前知識を必要とせずに、多項式スムージング展開（PCE）を用いて従属入力を有するモデルにおける分散に基づく感度インデックスをデータ駆動で計算する手法を提案する。Empiricalデータに修正グラム・シュミット法を適用することで、直交多項式を構築し、従属入力が出力分散にどのように寄与するかを解釈可能な感度インデックスで定量化する。

ABSTRACT

Uncertainties exist in both physics-based and data-driven models. Variance-based sensitivity analysis characterizes how the variance of a model output is propagated from the model inputs. The Sobol index is one of the most widely used sensitivity indices for models with independent inputs. For models with dependent inputs, different approaches have been explored to obtain sensitivity indices in the literature. Typical approaches are based on procedures of transforming the dependent inputs into independent inputs. However, such transformation requires additional information about the inputs, such as the dependency structure or the conditional probability density functions. In this paper, data-driven sensitivity indices are proposed for models with dependent inputs. We first construct ordered partitions of linearly independent polynomials of the inputs. The modified Gram-Schmidt algorithm is then applied to the ordered partitions to generate orthogonal polynomials with respect to the empirical measure based on observed data of model inputs and outputs. Using the polynomial chaos expansion with the orthogonal polynomials, we obtain the proposed data-driven sensitivity indices. The sensitivity indices provide intuitive interpretations of how the dependent inputs affect the variance of the output without a priori knowledge on the dependence structure of the inputs. Three numerical examples are used to validate the proposed approach.

研究の動機と目的

• 従属入力を有するモデルにおける分散に基づく感度分析の課題に取り組む。伝統的なソボルインデックスは、この状況では直接適用できない。
• 入力の従属構造に関する仮定や条件付き確率密度関数を必要とする既存手法の制限を克服する。
• 入力の従属構造に関する事前知識なしに、観測された入力-出力データを活用して感度インデックスを推定するデータ駆動フレームワークを開発する。
• 経験的測度から導かれる直交多項式展開を通じて、出力分散への入力寄与の直感的な解釈を可能にする。
• 従属入力からの出力分散の階層的説明を提供するための条件付き順序ベース感度インデックスを導入する。

提案手法

• 入力データから線形独立な多項式の順序付き分割を構築し、多項式スムージング展開の基底を形成する。
• 観測された入力-出力データから導かれる経験的測度に関して、修正グラム・シュミット法を用いて多項式基底を直交化する。
• 得られた直交多項式を用いて多項式スムージング展開（PCE）モデルを構築し、モデル応答を近似する。
• PCE係数からデータ駆動型感度インデックスを導出し、出力不確実性の分散に基づく分解を可能にする。
• 階層的解釈を提供するための条件付き順序ベース感度インデックスを導入する。
• 数値例を用いて、入力の従属構造に関する仮定なしに感度インデックスを推定する際の、本手法の正確性とロバストネスを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入力の従属構造に関する事前知識が得られない状況で、従属入力を有するモデルにおける分散に基づく感度インデックスを信頼性高く計算する方法は何か？
• RQ2 入力の従属構造を独立に変換する必要がないデータ駆動型PCEベース手法は、解釈可能かつ正確な感度インデックスを生成できるか？
• RQ3 標準的PCEアプローチと比較して、修正グラム・シュミット法は、経験的データからの直交多項式の構築において、数値的安定性をどのように向上させるか？
• RQ4 本手法は、制限的な仮定を必要としないにもかかわらず、変換ベース手法の結果と同等の感度インデックスをどの程度正確に推定できるか？
• RQ5 提案された条件付き順序ベース感度インデックスは、従属入力を有するモデルにおける入力寄与の解釈性をどの程度向上させるか？

主な発見

• 提案手法は、入力の従属構造に関する事前知識なしに、観測された入力-出力データのみを用いて、従属入力を有するモデルの解釈可能な感度インデックスを効果的に計算できた。
• 修正グラム・シュミット法は、経験的データからの直交多項式の構築における数値的安定性を向上させ、標準的PCEアプローチに比べてロバストネスに優れた。
• 本手法は、条件付き密度関数や入力分布に関する仮定を必要とせず、変換ベース手法（例：[16], [17]）の結果と同等の感度インデックスを推定できた。
• 例3では、解析的感度インデックスとデータ駆動型感度インデックスが、積項 $X_1X_2$、$X_3X_4$、$X_5X_6$ において良好に一致しており、本手法の正確性が裏付けられた。
• 例4では、データ駆動型PCEモデルから得られた感度インデックスが、応答面モデルから得られた基準値とよく一致しており、複雑な従属構造下でもロバストであることが示された。
• 条件付き順序ベース感度インデックスは、出力分散の階層的分解を提供し、従属入力のグループが不確実性にどのように寄与しているかをより明確に解釈可能にする。