[論文レビュー] Data-driven stabilization of nonlinear polynomial systems with noisy data

Meichen Guo, Claudio De Persis+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2020

Control Systems and Identification参考文献 25被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、事前のシステム同定を必要とせず、ノイズを含む入力状態データのみを用いて、連続時間非線形多項式系の安定化をデータ駆動で行う手法を提案する。安定性条件をデータ依存の平方和（SOS）計画問題として定式化することで、未知のノイズが二次的束縛を持つ状況でも、安定化状態フィードバックコントローラーとリャプノフ関数を直接計算可能となる。行列値不等式とSOS最適化を用いることで、計算が実行可能となる。

ABSTRACT

In a recent paper we have shown how to learn controllers for unknown linear systems using finite-sized noisy data by solving linear matrix inequalities. In this note we extend this approach to deal with unknown nonlinear polynomial systems by formulating stability certificates in the form of data-dependent sum of squares programs, whose solution directly provides a stabilizing controller and a Lyapunov function. We then derive variations of this result that lead to more advantageous controller designs. The results also reveal connections to the problem of designing a controller starting from a least-square estimate of the polynomial system.

研究の動機と目的

• 有限でノイズを含む入力状態データのみを用いて、未知の非線形多項式系の安定化を達成すること。
• 従来のモデルベースまたはノイズに無関心な手法の制限を克服し、線形系から非線形多項式系への直接的データ駆動制御を拡張すること。
• 平方和（SOS）最適化とデータ依存のリャプノフ関数を用いて、グローバル安定化の計算的に実行可能な条件を提供すること。
• 状態に依存する入力ベクトル場と二次的制約を持つ未知のノイズを扱い、従来のノイズなしまたは線形化された結果を改善すること。
• SOS計画問題を用いて閉ループ表現を再定式化し、変数次数のコントローラー設計を可能にすることで、計算効率を向上させること。

提案手法

• 有限のノイズを含むデータに基づく閉ループ表現を定式化し、Willemsの基本的補題を非線形多項式系に拡張して、システムのダイナミクスをパラメータ化する。
• 状態に依存する入力ベクトル場を扱い、二次的制約を介してノイズを組み込むために、修正された閉ループ表現を導入する。
• 行列値ヤングの不等式とS-lemmの変種を適用し、データ依存の平方和（SOS）計画問題を導出し、安定性を証明する。
• 決定変数としてコントローラー利得とリャプノフ行列を含むSOS計画問題を解くことで、リャプノフ関数と状態フィードバックコントローラーを同時に構築する。
• SOSTOOLSを用いてSOS計画問題を数値的に解き、明示的なコントローラー利得と安定性証明を得る。
• コントローラー利得を固定次数の決定変数として許容するなど、代替のパラメータ化を検討し、計算効率を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形系から非線形多項式系への直接的データ駆動制御は、ノイズを含む入力状態データのみを用いて拡張可能か？
• RQ2 特定の統計的分布を仮定せず、二次的束縛のみが与えられた場合、データ内のノイズをどのように扱えるか？
• RQ3 システム同定を一切行わず、データから安定化コントローラーと対応するリャプノフ関数を同時に計算可能か？
• RQ4 データ駆動設計における閉ループシステムの異なるパラメータ化の間で、計算上のトレードオフは何か？
• RQ5 データベースの閉ループ表現の選択が、得られるコントローラーの性能と効率にどのように影響するか？

主な発見

• 提案手法は、有限でノイズを含む入力状態データのみを用いて、非線形多項式系の安定化状態フィードバックコントローラーとリャプノフ関数を成功裏に計算した。
• 定理1により設計されたコントローラーは146.6秒の計算時間で安定化を達成し、コントローラー利得は $ u = -x_1(9.2x_1^2 + 2.2x_1x_2 + x_1 + 8.1x_2^2 + 0.24x_2 + 9.7) - x_2(38x_1^2 + 6.1x_1x_2 + 5.5x_1 + 33x_2^2 + 2.3x_2 + 29) $ の形をとる。
• 定理2によるコントローラーは151.3秒で計算され、異なる利得を示し、パラメータ化の感度を示している。その形は $ u = -x_1(3.7\times10^{-4}x_1^2 + 5.1\times10^{-5}x_1x_2 - 0.021x_1 + 2.2\times10^{-4}x_2^2 - 0.092x_2 + 0.94) - x_2(-1\times10^{-4}x_1^2 - 5.3\times10^{-3}x_1x_2 - 3.1\times10^{-3}x_1 + 5.5\times10^{-4}x_2^2 - 0.064x_2 + 1.2) $ である。
• 最も効率の良い設計は、コロナリー1を用い、2次コントローラーを決定変数として固定した場合で、わずか10.7秒で計算が完了し、コントローラーは $ u = -x_1(1.9\times10^{-4}x_1^2 - 8.9\times10^{-5}x_1x_2 - 0.026x_1 + 4.2\times10^{-4}x_2^2 - 0.091x_2 + 1.5) - x_2(4.8\times10^{-5}x_1^2 - 1.1\times10^{-4}x_1x_2 - 3.6\times10^{-3}x_1 - 2.4\times10^{-4}x_2^2 - 0.072x_2 + 1.4) $ の形をとる。
• 位相図は、3つのコントローラー設計すべてにおいて、原点でグローバル漸近的安定性を確認しており、過渡応答は異なる。
• 結果から、データパラメータ化の選択が計算効率に顕著に影響することが明らかになった。特に、コロナリー1は定理1および2に対して顕著な高速化を実現している。