[論文レビュー] Data-driven system analysis of nonlinear systems using polynomial approximation

Tim Martin, Frank Allgöwer|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2021

Control Systems and Identification被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ノイズのある測定値からの集合-membership 不確実性バインディングを組み合わせたテイラー多項式（TP）近似を用いた、データ駆動型の非線形システム解析フレームワークを提案する。テイラーの定理を用いて多項式セクター境界を導出し、TPの楕円型外挿近似を統合することで、凸な和の平方（SOS）最適化を可能にし、保証された誤差バインディングを伴う非線形システムの消費性および増分的消費性を厳密に検証できる。局所的テイラー多項式近似を組み合わせることで、保守的でない近似が実現され、大幅に保守性が低減される。

ABSTRACT

In the context of data-driven control of nonlinear systems, many approaches lack of rigorous guarantees, call for nonconvex optimization, or require knowledge of a function basis containing the system dynamics. To tackle these drawbacks, we establish a polynomial representation of nonlinear functions based on a polynomial sector by Taylor's theorem and a set-membership for Taylor polynomials. The latter is obtained from finite noisy samples. By incorporating the measurement noise, the error of polynomial approximation, and potentially given prior knowledge on the structure of the system dynamics, we achieve computationally tractable conditions by sum of squares relaxation to verify dissipativity and incremental dissipativity of nonlinear dynamical systems with rigorous guarantees. The framework is extended by combining multiple Taylor polynomial approximations which yields a less conservative piecewise polynomial system representation. The proposed approach is applied for numerical and experimental examples. There it is compared to a least-squares-error model including knowledge from first principle.

研究の動機と目的

• 非線形システムのデータ駆動型制御において、非凸最適化や未知の関数基底に依存する場合に生じる、厳密な保証の欠如に対処すること。
• 入力-状態-速度データのみを用いて、非線形システムにおける消費性および増分的消費性を計算的に実行可能なフレームワークで検証すること。
• 局所的テイラー多項式近似の複数の組み合わせと事前構造的知識の統合により、データ駆動型システム解析における保守性を低減すること。
• 測定ノイズと事前知識を凸最適化フレームワークに組み込むことで、データ駆動型システム解析の実用的応用を可能にすること。
• 大規模データセットを必要とする非パrametric手法や、平衡点付近での近接領域除外問題を抱える手法に対する、厳密でスケーラブルな代替手法を提供すること。

提案手法

• ノイズのあるデータから推定された (k+1) 階微分の有界性を用いて、テイラーの定理に基づき非線形関数の多項式セクター境界を導出する。
• ノイズのあるサンプルの楕円型外挿近似を用いて、テイラー多項式近似の集合-membership エンvelope を構築し、真の関数がこのエンvelope 内にあることを保証する。
• システム構造に関する事前知識（例：スパarsity、対称性、既知の係数）をエンvelope に統合し、保守性を低減する。
• 状態空間領域を分割し、複数の局所的テイラー多項式近似を組み合わせて、区分的多項式表現を構築することで、精度を向上させ、保守性を低減する。
• 消費性検証問題を和の平方（SOS）最適化問題として定式化し、半正定値プログラミングを用いて凸的かつ計算的に実行可能な解法を可能にする。
• 区分的領域全体にわたるグローバルな消費性特性を保証するために、共通のストレージ関数を複数の領域にわたって使用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズのある測定値のみを用いて、厳密な誤差バインディングを伴う非パrametricな非線形関数表現を構築可能か？
• RQ2 データ駆動型システム解析において、単一の点におけるテイラー多項式近似の保守性は、どのように低減可能か？
• RQ3 システムダイナミクスに関する事前構造的知識が、データ駆動型システム特性検証の精度にどの程度寄与可能か？
• RQ4 有限でノイズのある軌道データのみを用いて、消費性および増分的消費性を保証されたバインディングで検証可能か？
• RQ5 複数の局所的テイラー多項式近似を組み合わせることで、得られる消費性バインディングのタイトネスはどの程度向上するか？

主な発見

• 提案手法は、明示的なモデル知識を一切必要とせず、ノイズのある入力-状態-速度データのみを用いて、非線形システムの消費性および増分的消費性を厳密に検証できる。
• 2つの結合振動子系の増分的 L2 ゲインは、定数メトリクスを用いた5次多項式近似により1.93と推定され、既知のシステムパrameter下で真値と一致した。
• 状態空間領域を分割し、3つの局所的テイラー多項式近似を組み合わせることで、保守性が顕著に低減され、単一のグローバル近似に比べて増分的 L2 ゲインのデータ駆動推定が向上した。
• 既知の係数や条件 c(0,0)=0 を組み込むことで、エンvelope がさらに精密に定義され、分析の正確性が向上した。
• 複数の局所的近似を用いた区分的多項式表現の使用により、増分的 L2 ゲインの上界が顕著に改善され、数値的および実験的例で確認された。
• フレームワークは和の平方最適化を用いて凸的かつ実行可能に検証を可能にし、データ駆動型制御で一般的な非凸的またはヒューリスティックな手法を回避できる。