[論文レビュー] Data for "Pauli Spectrum and Non-stabilizerness of Typical Quantum Many-Body States"

Xhek Turkeshi, Piotr Sierant+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、典型的な量子多体状態における魔法（非安定化性）を定量化するためのパラメータとしてパウリスペクトルを導入し、ハールランダム状態、ランダム回路状態、カオス的ハミルトニアンの固有状態がすべて指数的に抑制された尾部を示す普遍的なパウリスペクトルを示すことを示した。典型的（高魔法）状態と非典型的状態を区別するためのフィルタリングされた安定化エントロピーを提案し、すべてのリーマン指数において魔法が最大化されることを示した。

ABSTRACT

An important question of quantum information is to characterize genuinely quantum (beyond-Clifford) resources necessary for universal quantum computing. Here, we use the Pauli spectrum to quantify how ``magic'', beyond Clifford, typical many-qubit states are. We first present a phenomenological picture of the Pauli spectrum based on quantum typicality and then confirm it for Haar random states. We then introduce filtered stabilizer entropy, a magic measure that can resolve the difference between typical and atypical states. We proceed with the numerical study of the Pauli spectrum of states created by random circuits as well as for eigenstates of chaotic Hamiltonians. We find that in both cases Pauli spectrum approaches the one of Haar random states, up to exponentially suppressed tails. We discuss how the Pauli spectrum changes when ergodicity is broken due to disorder. Our results underscore the difference between typical and atypical states from the point of view of quantum information.

研究の動機と目的

• 安定化形式を超えて、典型的な多体量子状態の非安定化性（魔法）を特徴づけること。
• 典型的な高魔法状態と、スピン状態のような非典型的な低魔法状態（例：積状態）を区別できる指標を開発すること。
• 量子典型性に基づいたパウリスペクトルの現象的図を構築すること。
• ハールランダム状態の正確な結果と、ランダム回路およびカオス的ハミルトニアン固有状態の数値シミュレーションを通じて、この図を確認すること。
• フィルタリングされた安定化エントロピーを導入し、その妥当性を検証することで、典型的状態と非典型的状態の差を解明すること。

提案手法

• すべてのパウリスパン P ∈ 𝒫_N に対して期待値 ⟨Ψ|P|Ψ⟩ を取り、それを確率分布 Π(x) として扱うことで、パウリスペクトルを定義する。
• 量子典型性を用いて、典型的状態では P ≠ I のとき ⟨Ψ|P|Ψ⟩ ≈ 0 であり、平均0、一様な分散 b を持つガウス分布に従うと議論する。
• ハールランダム状態の正確なパウリスペクトルを導出し、N が大きい極限で半円分布に収束することを示す。
• アイデンティティ演算子の寄与を除いた修正されたリーマンエントロピーとして、フィルタリングされた安定化エントロピー M̃_q を導入し、非安定化成分への感受性を高める。
• ランダム回路状態およびカオススピン鎖の中央スペクトル固有状態に対して、理論的予測と照合するための広範な数値シミュレーションを実施する。
• モンテカルロサンプリングを用いて安定化リーマンエントロピーを計算し、有限サイズ系におけるパウリスペクトルの振る舞いを検証する。

Figure 1: (a) Pauli spectrum for the atypical state $|\Theta\rangle$ (where we fix $\theta=2\arctan(\sqrt{2-\sqrt{3}})$ and $\phi=2\arctan(1-\sqrt{2})$ ), a typical (Haar random) state $|\Psi_{\mathrm{Haar}}\rangle$ , and for a stabilizer state $|\Psi_{\mathrm{Stab}}\rangle$ generated by a random Cl

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 典型的な量子多体状態のパウリスペクトルはどのように振る舞い、量子典型性によって記述可能か？
• RQ2 ランダム回路状態およびカオス的ハミルトニアンの固有状態は、パウリスペクトルにおいてどれほどハールランダム状態に類似しているか？
• RQ3 フィルタリングされた安定化エントロピーは、典型的状態と非典型的状態（例：積状態）を効果的に区別できるか？
• RQ4 パウリスペクトルの構造的差異は、系のダイナミクスまたは可積分性をどのように反映するか？
• RQ5 パウリスペクトルは、量子多体系におけるエルゴドリシティと魔法の関係をどのように示すか？

主な発見

• ハールランダム状態のパウリスペクトルは半円分布に従い、q > 2 のときアイデンティティ演算子が安定化リーマンエントロピーに支配的である。
• 典型的状態では、フィルタリングされた安定化エントロピー M̃_q がすべてのリーマン指数 q で最大値 1 をとる。これは最大の魔法を示している。
• ランダム回路状態およびカオス的ハミルトニアンの中央スペクトル固有状態は、指数的に抑制された尾部を除いて、ハールランダム状態と区別できないパウリスペクトルを示す。
• カオス的ハミルトニアン固有状態のパウリスペクトルは、ハールランダム状態に存在しない指数的に小さな尾部を示し、ハミルトニアンに起因するより豊かな構造を露呈している。
• フィルタリングされた安定化エントロピーは、典型的状態と非典型的状態（例：積状態）の差を的確に解明できており、後者は顕著に低い魔法を示す。
• パウリスペクトルは、安定化リーマンエントロピーのみに依存するのとは対照的に、演算子空間分布の非ガウス的特徴を捉えるより洗練された魔法の特徴付けを提供する。

Figure 2: Pauli spectra of typical states (red dashed lines, Eq. ( 4 ) and ( 5 )) and the numerical results for: random unitary circuits (a), random orthogonal circuits (b), mid-spectrum eigenstates of chaotic Hamiltonian $H^{\mathrm{sb}}$ without TRI, (c), and with TRI $H$ , (d), see Text. Only the