[論文レビュー] Data-free Non-intrusive Model Reduction for Nonlinear Finite Element Models via Spectral Submanifolds

Shobhit Jain, Mingwu Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2024

Model Reduction and Neural Networks被引用数 11

ひとこと要約

非侵入的なアルゴリズムで、三次までの非線形FE系のスペクトルサブマンフォールド（SSMs）と縮約モデルを計算可能。汎用FEソフトウェアとデータフリー（STEPベース）実装に対応。

ABSTRACT

The theory of spectral submanifolds (SSMs) has emerged as a powerful tool for constructing rigorous, low-dimensional reduced-order models (ROMs) of high-dimensional nonlinear mechanical systems. A direct computation of SSMs requires explicit knowledge of nonlinear coefficients in the equations of motion, which limits their applicability to generic finite-element (FE) solvers. Here, we propose a non-intrusive algorithm for the computation of the SSMs and the associated ROMs up to arbitrary polynomial orders. This non-intrusive algorithm only requires system nonlinearity as a black box and hence, enables SSM-based model reduction via generic finite-element software. Our expressions and algorithms are valid for systems with up to cubic-order nonlinearities, including velocity-dependent nonlinear terms, asymmetric damping, and stiffness matrices, and hence work for a large class of mechanics problems. We demonstrate the effectiveness of the proposed non-intrusive approach over a variety of FE examples of increasing complexity, including a micro-resonator FE model containing more than a million degrees of freedom.

研究の動機と目的

• スペクトルサブマンフォールド（SSMs）を用いて高次元FEモデルの厳密な非線形ROMを動機づけ、実現する。
• ブラックボックスnonlinearityを用いてSSMsと縮退ダイナミクスを計算する非侵入アルゴリズムを開発する。
• 速度依存項を含む三次非線形性と非対称阻尼/剛性を含むSSMベースの縮約を拡張する。
• 非常に大規模なFEモデルへの適用性と、商用パッケージを含む汎用FEソフトウェアとの互換性をデモンストレーションする。
• オープンソース実装（SSMTool）を提供し、多様なFE例で検証する。

提案手法

• パラメータ化法を用いて、選択した線形モードのマスター部分空間に接するSSMを構築する。
• SSMと縮退ダイナミクスを多重指標形の多項式展開で表現し、不変性方程式を解く。
• 非線形性を二次と三次の成分に分割し、SSM非侵入的にSTEPを介してそれらの組合せを計算する。
• 特異点を正規形スタイルの縮退ダイナミクス方程式で持ち上げることにより、近共振を処理する。
• 時間周期駆動に対する非自立補正を導出し、TI（時刻不変）およびTV（時変）SSM近似を提供する。
• このアプローチをSSMToolに実装し、ブラックボックスF(z)評価を用いて汎用FEソルバーと結合させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元の非線形FE系に対してSSMベースの縮約ROMを非侵入的に計算できるか？
• RQ2 内部FE係数へアクセスせず、三次までの多項式非線形性をSSMのパラメトリゼーションと組み合わせるにはどうするか？
• RQ3 複雑なFEモデルに対して非侵入SSM ROMの精度と計算効率は、侵入的アプローチと比較してどうか？
• RQ4 速度依存の非線形性および非対称な阻尼/剛性を非侵入SSMベースの縮約でどの程度適用できるか？
• RQ5 大規模FEモデルと商用FEソフトウェアでの手法の性能はどうか？

主な発見

• 非侵入アルゴリズムは、三次非線形性を持つFEモデルに対して任意階数の多項式のSSMとROMを計算できる。
• 速度依存の非線形性および非対称な阻尼・剛性行列に対応する。
• データフリーのSSMベース縮約を実現するため、汎用FEソフトウェア（COMSOLを含む）との結合が可能である。
• シャローシェル／1:2内部共振、航空機翼モデル、粘弾性プレート、MEMSジャイロスコープFEモデルなどをデモンストレーション。
• シャロー・アークの例ではTI-SSMとTV-SSMが一致し、侵入的対非侵入FRCはO(5)精度で一致、非侵入のメモリ使用量は大幅に低い（8MB対35MB）。
• このアプローチはオープンソースのSSMToolで実装され、100万以上のDOFを含むモデルを含む、ますます複雑なFE問題で検証された。