[論文レビュー] Data mining for cones of metrics, quasi-metrics, hemi-metrics and super-metrics

Michel Deza, Mathieu Dutour Sikirić|ArXiv.org|Jan 2, 2002

Advanced Differential Geometry Research参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、隣接分解法の適応とcddプログラムを用いて、m-aryおよび方向付き度合い（半度合い、カット半度合い、準度合い、半度合い、超度合いを含む）の凸錐を解析する計算フレームワークを導入する。n=7までの完全な計算結果を初めて得ており、極値線、面、軌道、直径に関する新規データを提示し、これらの多面体的錐の隣接基準および対称性に基づく軌道構造を確立する。

ABSTRACT

Using some adaptations of the adjacency decomposition method \cite{CR} and the program {\it cdd} (~\cite{Fu}), we compute the first computationally difficult cases of convex cones of $m$-ary and oriented analogs of semi-metrics and cut semi-metrics, which were introduced in \cite{DR2} and \cite{DP}. We considered also more general notion of $(m,s)$-super-metric and corresponding cones. The data on related cones - the number of facets, of extreme rays, of their orbits and diameters - are collected in Table ef{tab:MainLovelyTable}. We study also criterion of adjacency for skeletons of those cones and their duals. Some families of extreme rays and operations on them are also given.

研究の動機と目的

• m-aryおよび半度合い・カット半度合いの方向付きアナログの凸錐の最初の計算的に困難なケースを計算すること。
• フレームワークを(m,s)-超度合いおよびそれらに対応する錐に拡張すること。
• これらの錐の面の数、極値線、それらの軌道、および直径を特定すること。
• これらの錐における極値線および面の隣接基準を確立・適用すること。
• n≤7における度合い関連錐の構造的性質の包括的データセットを提供し、新規結果を提示すること。

提案手法

• 度合い関連錐の面構造を体系的に探索するため、隣接分解法（ChRe96）を適応した。
• 半度合いおよび超度合いの錐の凸包と双対錐を計算するために、cddプログラム（Fu95）を用いた。
• 完全な列挙を伴わずに、線形計画法を用いて極値線および面の隣接性をテストした。
• 等長対称性の下での面の軌道を分類するために、群論的対称性解析をSym(n)およびZ₂×Sym(n)を用いて実施した。
• 錐の直径および隣接関係を分析するために、スケルトングラフG(C)およびリッジグラフG(C*)を定義・計算した。
• ジョンソングラフに基づくベクトルを用いた構成的メソッドを提示し、SMET^{m,m}_nにおける極値性を証明した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さなnにおけるm-aryおよび方向付き度合いの錐の完全な面ラティス構造（面、極値線、軌道）は何か？
• RQ2 これらの度合いの錐における極値線および面の隣接関係はどのように振る舞い、それらはアルゴリズム的に特定可能か？
• RQ3 これらの錐のスケルトンおよびリッジグラフの直径は何か？また、nに従ってどのように変化するか？
• RQ4 どの錐が非ゼロの極値線を有するか？また、すべての極値線がSMET^{m,m}_nで非ゼロであるという予想を満たすか？
• RQ5 Sym(n)およびZ₂×Sym(n)による対称性は、方向付きの場合の面の軌道分類において果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、24本の極値線、1260個の面、直径24を有するSMET^{4,4}_7の完全な計算を初めて提示し、これらすべてが太字で示された新規結果である。
• n=m+2の場合、SMET^{m,m}_nの錐構造は完全に解けるものであり、極値線の数はちょうどC(n, m+1)で、1つの軌道を有する。
• SCUT^{4,4}_7は、非-(m,s)-単体面を有する最小の例であり、すべての面が(m,s)-単体面に隣接するとは限らない。
• v(S)=1（1∈Sのとき）および0（それ以外のとき）で定義されるベクトルvは、SMET^{m,m}_nの極値線であり、軌道サイズはnで、ジョンソングラフJ(n-1,m)と同型である。
• 非負性不等式はSMET^{m,m}_nにおいて冗長であり、MET_n=SMET^{1,1}_nと同様の性質を有する。
• 本稿は、予想10（SMET^{m,m}_nはゼロ成分を含まない極値線を有する）に対する強い計算的証拠を提供し、n≤7において検証済みである。