[論文レビュー] Data Structures for Weighted Matching and Extensions to $b$-matching and $f$-factors

Harold N. Gabow|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、一般のグラフにおける最大重み完全マッチングのための効率的なアルゴリズムを提示する。動的最近共通祖先計算に基づく新しいデータ構造を用いて花の生成を実現し、$O(n(m + n\log n))$ の時間計算量を達成する。この手法は $b$-マッチングおよび $f$-ファクターへと拡張され、同じ時間計算量を維持する。これにより、適切な初期化を施すことで、最短経路構造や $T$-ジョイン問題の高速解法が可能になる。

ABSTRACT

This paper shows the weighted matching problem on general graphs can be solved in time $O(n(m + n\log n))$ for $n$ and $m$ the number of vertices and edges, respectively. This was previously known only for bipartite graphs. The crux is a data structure for blossom creation. It uses a dynamic nearest-common-ancestor algorithm to simplify blossom steps, so they involve only back edges rather than arbitrary nontree edges. The rest of the paper presents direct extensions of Edmonds' blossom algorithm to weighted $b$-matching and $f$-factors. Again the time bound is the one previously known for bipartite graphs: for $b$-matching the time is $O(\min\{b(V),n\log n\}(m + n\log n))$ and for $f$-factors the time is $O(\min\{f(V),m\log n\}( m + n\log n) )$, where $b(V)$ and $f(V)$ denote the sum of all degree constraints. Several immediate applications of the $f$-factor algorithm are given: The generalized shortest path structure of \cite{GS13}, i.e., the analog of the shortest path tree for conservative undirected graphs, is shown to be a version of the blossom structure for $f$-factors. This structure is found in time $O(|N|(m+n\log n))$ for $N$ the set of negative edges ($0

研究の動機と目的

• 一般のグラフにおけるエドモンドスの重み付きマッチングアルゴリズムにおける花の生成を効率的に行うためのデータ構造の開発。
• エドモールズの花アルゴリズムを重み付き $b$-マッチングおよび $f$-ファクターへ拡張し、二部グラフで知られている時間計算量と同等のものとする。
• 一般のグラフにおける最大重みマッチングおよび関連問題に対して、強く多項式時間の計算量を達成する。
• $f$-ファクターアルゴリズムが、最短経路問題および $T$-ジョイン問題を効率的に解くために初期化可能であることを示す。

提案手法

• 花のステップを単純化するために、動的最近共通祖先（Dnca）データ構造を導入し、花の生成をバックエッジに限定する。
• スケーリングされた双対変数 $y$ と $z$ を用いた双対調整スキームを採用し、$\sigma = 4n(w(e) - \widehat{yz}(e))$ により双対調整の整合性を保証する。
• スケーリング技術を適用し、$z(B)$ を $Z(B) - Z(p(B))$ として定義する。ここで $Z(B)$ は有界区間内の $4n$ の倍数で最も近いものである。
• 最短経路問題を $f$-ファクターのインスタンスとしてモデル化するため、グラフの変換を実施し、頂点の複製と辺の再重み付けを伴う。
• 最大コストの絶対値 $W$ を用いて双対変数を初期化し、$v$ が負の重みの辺に接続されている場合は $y(v) = W$、それ以外は $0$ とする。
• $f$-ファクターアルゴリズムから導出される探索構造 $\mathcal{S}$ を用い、保守的無向グラフにおける一般化された最短経路を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エドモールズの重み付きマッチングアルゴリズムの時間計算量を、二部グラフから一般のグラフへ拡張し、$O(n(m + n\log n))$ にできるか？
• RQ2 動的最近共通祖先データ構造を用いることで、花の操作を単純化し、任意の非ツリー辺への依存を減らすことができるか？
• RQ3 $f$-ファクターアルゴリズムを初期化することで、$|N|$ 個の負の辺に対して、時間 $O(|N|(m + n\log n))$ で最短経路および $T$-ジョイン問題を解くことができるか？
• RQ4 保守的無向グラフにおける一般化された最短経路構造は、$f$-ファクターにおける花構造と同値であるか？

主な発見

• 一般のグラフにおける重み付きマッチング問題は、$O(n(m + n\log n))$ 時間で解ける。これは、二部グラフに対して知られている最良の計算量と一致する。
• $b$-マッチング問題は、$O(\min\{b(V), n\log n\}(m + n\log n))$ 時間で解ける。ここで $b(V)$ は次数制約の総和を表す。
• $f$-ファクター問題は、$O(\min\{f(V), m\log n\}(m + n\log n))$ 時間で解ける。ここで $f(V)$ は頂点の次数要件の総和を表す。
• 保守的無向グラフにおける一般化された最短経路構造は、$f$-ファクターにおける花構造と同値であり、$|N| < n$ 個の負の辺に対して $O(|N|(m + n\log n))$ 時間で計算可能であることが示された。
• 最短 $T$-ジョインは、$O(n(m + n\log n))$ 時間で見つけられ、すべてのコストが非負の場合には $O(|T|(m + n\log n))$ 時間で可能になる。これは $f$-ファクターアルゴリズムの初期化により達成される。
• アルゴリズムの探索フェーズは、適切なモデル下で $n$ 個の数のソーティングの下界 $\Omega(m + n\log n)$ と一致するため、漸近的に最適である。