[論文レビュー] Davenport-Heilbronn Theorems for Quotients of Class Groups

Zev Klagsbrun|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2017

Finite Group Theory Research参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、固定された有理素数の集合 $S$ に上る素数によって生成される部分群を法とする二次体の理想類群の商群に関して、Davenport-Heilbronnの定理を一般化する。判別式が $K$ と一致する立方体体の同型類と $ \mathrm{Cl}(K)_S$ の指数3部分群との間の双対性を用い、最近得られた立方体体の局所的条件を満たすものの数え上げ結果を活用することで、判別式の大小で順序付けられた二次体 $K$ を動かすとき、$ \mathrm{Cl}(K)_S[3]$、緩和された3-Selmer群 $ \mathrm{Sel}_3^S(K)$、および単数群の商 $ \mathcal{O}_{K,S}^\times / (\mathcal{O}_{K,S}^\times)^3$ の平均サイズを計算する。主な結果は、$S$-素数が完全に分解する場合、これらの平均が Cohen–Lenstra の予想と整合的であるということである。

ABSTRACT

We prove a generalization of the Davenport-Heilbronn theorem to quotients of ideal class groups of quadratic fields by the primes lying above a fixed set of rational primes $S$. Additionally, we obtain average sizes for the relaxed Selmer group $\mathrm{Sel}_3^S(K)$ and for $\mathcal{O}_{K,S}^ imes/(\mathcal{O}_{K,S}^ imes)^3$ as $K$ varies among quadratic fields with a fixed signature ordered by discriminant.

研究の動機と目的

• 固定された有限集合 $S$ の有理素数に対して、$S$ に上る素数によって生成される部分群を法とする二次体の類群への Davenport-Heilbronn の定理の拡張。
• すべての $S$-素数が完全に分解する場合と一般の場合の両方において、虚二次体および実二次体の $ \mathrm{Cl}(K)_S[3]$ の平均サイズの計算。
• 判別式の大小で順序付けられた二次体 $K$ を動かすとき、緩和された3-Selmer群 $ \mathrm{Sel}_3^S(K)$ および単数群の商 $ \mathcal{O}_{K,S}^\times / (\mathcal{O}_{K,S}^\times)^3$ の平均サイズの決定。
• 適切な分解条件のもとで、これらの平均的不変量が Cohen–Lenstra の予想と整合的であるかの検証。

提案手法

• $\mathrm{Cl}(K)_S$ の指数3部分群と、$K$ と同じ判別式を持つ立方体体の同型類との間の双対性の確立。
• Bhargava, Shankar, Tsimerman（および Taniguchi–Thorne）による最近の結果を用い、$S$ の素数における局所的条件を満たす立方体体の数え上げ。
• 数体の幾何学と類群の数え上げ技術を応用し、このような立方体体の数と $ \mathrm{Cl}(K)_S[3]$ の平均サイズとの関係を導出。
• それらと $ \mathrm{Cl}(K)_S[3]$ を結ぶ短完全列を用いて、$ \mathrm{Sel}_3^S(K)$ および $ \mathcal{O}_{K,S}^\times / (\mathcal{O}_{K,S}^\times)^3$ の平均サイズを導出。
• 素数の分解挙動を制御するため、$S_1 \subset S$ が分解し、残りが分解しないような部分集合に二次体を分割し、重み付き平均を計算。
• ランダムな二次体が $S_1$ および $S \setminus S_1$ に対して所望の分解挙動を示す確率 $\rho(S_1)$ を用い、既知の密度結果と組み合わせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $S$-素数が完全に分解する虚二次体において、$ \mathrm{Cl}(K)_S[3]$ の平均サイズは何か？
• RQ2 すべての $S$-素数が完全に分解する実二次体において、$ \mathrm{Cl}(K)_S[3]$ の平均サイズはどのように変化するか？
• RQ3 判別式の大小で順序付けられたすべての二次体を動かすとき、緩和された3-Selmer群 $ \mathrm{Sel}_3^S(K)$ および単数群の商 $ \mathcal{O}_{K,S}^\times / (\mathcal{O}_{K,S}^\times)^3$ の平均サイズは何か？
• RQ4 すべての $S$-素数が完全に分解する場合、これらの平均サイズは Cohen–Lenstra の予想と整合的か？
• RQ5 $ \mathrm{Cl}(K)_S[3]$ の平均サイズは、$S$ の素数の分解挙動にどのように依存するか？

主な発見

• すべての $S$-素数が完全に分解する虚二次体において、$ \mathrm{Cl}(K)_S[3]$ の平均サイズは $1 + 3^{-|S|}$ である。
• すべての $S$-素数が完全に分解する実二次体において、$ \mathrm{Cl}(K)_S[3]$ の平均サイズは $1 + 3^{-|S|-1}$ である。
• すべての $S$-素数が完全に分解する実二次体において、$ \mathrm{Sel}_3^S(K)$ の平均サイズは $3^{|S|} + 3^{|S|+1} \prod_{p \in S} \left(1 + \frac{p}{p+1}\right)$ である。
• すべての $S$-素数が完全に分解する虚二次体において、$ \mathrm{Sel}_3^S(K)$ の平均サイズは $3^{|S|} + 3^{|S|} \prod_{p \in S} \left(1 + \frac{p}{p+1}\right)$ である。
• すべての $S$-素数が完全に分解する実二次体において、$ \mathcal{O}_{K,S}^\times / (\mathcal{O}_{K,S}^\times)^3$ の平均サイズは $3^{|S|+1} \prod_{p \in S} \left(1 + \frac{p}{p+1}\right)$ である。
• すべての $S$-素数が完全に分解する虚二次体において、$ \mathcal{O}_{K,S}^\times / (\mathcal{O}_{K,S}^\times)^3$ の平均サイズは $3^{|S|} \prod_{p \in S} \left(1 + \frac{p}{p+1}\right)$ である。