[論文レビュー] David Hilbert and the origin of the "Schwarzschild solution"

S. Antoci|ArXiv.org|Oct 21, 2003

Geophysics and Sensor Technology参考文献 1被引用数 32

ひとこと要約

この論文は、一般相対性理論における「シュバルツシルト解」の歴史的・数学的起源を調査し、デイヴィッド・ヒルベルトがカルル・シュバルツシルトの元来の解とは異なる時空多様体を導出したことを明らかにする。ヒルベルトのバージョンは広く採用されたが、時間の矢の整合性の欠如と局所的内因性特異点という二つの主要な欠陥を有しており、これらはシュバルツシルトの元来の解には存在しない。シュバルツシルトの解は物理的により整合性があるが、ヒルベルトの形式に比べてほとんど無視され続けている。

ABSTRACT

The very early dismissal of Schwarzschild's original solution and manifold, and the rise, under Schwarzschild's name, of the inequivalent solution and manifold found instead by Hilbert, are scrutinised and commented upon, in the light of the subsequent occurrences. It is reminded that Hilbert's manifold suffers from two defects, that are absent in Schwarzschild's manifold. It does not admit a consistent drawing of the arrow of time, and it allows for an invariant, local, intrinsic singularity in its interior. The former defect is remedied by the change of topology of the extensions proposed by Synge, Kruskal and Szekeres. The latter persists unaffected in the extensions, since it is of local character.

研究の動機と目的

• ヒルベルトの時空多様体が、シュバルツシルトの元来の解ではなく『シュバルツシルト解』として広く知られるようになった歴史的・数学的背景を明確にすること。
• アインシュタインの初期の場方程式（ユニモジュラー共変性を含む）に基づいて導かれたシュバルツシルトの元来の解が、二つの積分定数を有し、内境界を固定するための追加の仮説を必要とすることを示すこと。
• ヒルベルトの解は形としては数学的に同等であるが、除去不能な局所的内因性特異点と時間の矢の整合性の欠如により、物理的に欠陥を有することを示すこと。
• シュバルツシルトの解が初期に無視されたことにより、ヒルベルトの多様体が広く採用されたが、これはフィリップ・フランクによる影響力はあったが不完全なレビューによるものであることを主張すること。

提案手法

• 1916年の『Massenpunkt』論文を、アインシュタインの1915年11月11日版の場方程式（ユニモジュラー変換に限局した共変性）を用いたカルル・シュバルツシルトの使用に焦点を当てて分析する。
• 座標変換 $x_1 = r^3/3$, $x_2 = -\cos\vartheta$, $x_3 = \varphi$ を用いてシュバルツシルトの解を導出し、関数 $M(r)$ と $W(r)$ を用いて計量を表現し、区間 (45) を得る。
• シュバルツシルトの解が二つの積分定数を有することを特定する：質量のためのもの（$\alpha$）と内境界のためのもので、彼は特異点を $r = \alpha$ に置くために連続性の仮説を用いて固定した。
• シュバルツシルトの解とヒルベルトの解を比較し、ヒルベルトの導出が異なる変分原理と座標系を用いており、除去不能な局所的内因性特異点を有する多様体を導くことを示す。
• ヒルベルトの多様体の幾何学的・物理的欠陥を分析する：時間の矢の整合性の欠如と、クリスカル＝ゼケレス拡張でさえも残存する局所的特異点の存在。
• スカラー曲率 $K$ の変動と作用積分 $\int K\sqrt{g}\,dr\,d\vartheta\,d\varphi\,dl$ を用いて、ラグランジュ方程式 $m' = 0$, $w' = 0$ を導出し、与えられた制約下での一般解が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜヒルベルトのシュバルツシルト解のバージョンが、シュバルツシルトの元来の解ではなく一般相対性理論の教科書や研究で標準的となったのか？
• RQ2 ヒルベルトの多様体に存在するがシュバルツシルトの元来の解には存在しない物理的・幾何学的欠陥は何か？
• RQ3 フィリップ・フランクによるシュバルツシルトの論文の初期レビューが、なぜヒルベルトへの解の帰属の誤認を助長したのか？
• RQ4 二つの積分定数を有し、追加の仮説を必要とするシュバルツシルトの元来の解が、物理的により整合性があるにもかかわらず、なぜ無視され続けたのか？
• RQ5 クリスカル＝ゼケレス拡張は、特に内因性特異点の問題に関して、ヒルベルト多様体の物理的欠陥をどの程度解消するのか？

主な発見

• シュバルツシルトの元来の解は、1915年11月11日版のアインシュタインの場方程式（ユニモジュラー共変性を含む）に基づき、質量のための積分定数と内境界のための積分定数を二つ有する。彼は特異点を $r = \alpha$ に置くために連続性の仮説を用いて内境界を固定した。
• ヒルベルトの解は、異なる変分原理に基づき、シュバルツシルトとは同値でない多様体に対応し、時間の矢の整合性の欠如と除去不能な局所的内因性特異点という二つの主要な欠陥を有する。
• ヒルベルト多様体の局所的内因性特異点は、クリスカル＝ゼケレス拡張でさえも消失せず、これは局所的性質であるためである。
• 標準的な『シュバルツシルト』計量 (1) である $ds^2 = (1 - 2m/r)dt^2 - (1 - 2m/r)^{-1}dr^2 - r^2(d\vartheta^2 + \sin^2\vartheta d\phi^2)$ は、シュバルツシルトの元来の解とは同値ではなく、特異点が $r = \alpha$ にあり、$r > \alpha$ の範囲でのみ正則である。
• ヒルベルトの多様体が物理的欠陥を有するにもかかわらず広く採用されたのは、フィリップ・フランクによるシュバルツシルトの論文の不完全なレビューが、座標変換と場方程式のバージョンに関する重要な詳細を省略したことに起因している。
• 本論文は、ヒルベルトの多様体が物理的に欠陥を有する一方で、シュバルツシルトの元来の解は除去不能な局所的特異点を回避し、時間の矢を整合的に定義できることから、物理的により整合性があると結論づけるが、歴史的・編集的要因により、その価値が埋もれてしまった。