[論文レビュー] DDE-BIFTOOL Manual - Bifurcation analysis of delay differential equations

Jan Sieber, Koen Engelborghs+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2014

Numerical methods for differential equations参考文献 25被引用数 72

ひとこと要約

このマニュアルは、定数遅れおよび状態依存遅れを含む遅れ微分方程式（DDE）の数値分岐解析を可能にする、MATLABベースのソフトウェアパッケージDDE-BIFTOOLの詳細を説明する。コロケーション法と続行技術を用いて、平衡解、周期軌道、安定性、および一次および二次の分岐を計算可能であり、正規形と対称性を考慮した動的解析の拡張も可能である。

ABSTRACT

DDEBIFTOOL is a collection of Matlab routines for numerical bifurcation analysis of systems of delay differential equations with discrete constant and state-dependent delays. The package supports continuation and stability analysis of steady state solutions and periodic solutions. Further one can compute and continue several local and global bifurcations: fold and Hopf bifurcations of steady states; folds, period doublings and torus bifurcations of periodic orbits; and connecting orbits between equilibria. To analyse the stability of steady state solutions, approximations are computed to the rightmost, stability-determining roots of the characteristic equation which can subsequently be used as starting values in a Newton procedure. For periodic solutions, approximations to the Floquet multipliers are computed. The manual describes the structure of the package, its routines, and its data and method parameter structures.

研究の動機と目的

• 定数遅れおよび状態依存遅れを有する遅れ微分方程式（DDE）の数値分岐解析のためのポータブルで使いやすいツールの提供。特に定常解および周期的解を対象とする。
• 定数遅れおよび状態依存遅れの両方のシステムをサポートし、安定性解析と解分岐の続行を可能にする。
• 正規形計算を用いて、ホフ分岐、一般化ホフ分岐、バウチン分岐などの二次分岐を含む、数値的拡張を実現する。
• 特別な拡張を用いて、相対的平衡解および周期軌道の解析を通じて、対称性を持つシステムの解析を可能にする。
• コアのDDE-BIFTOOL論文および関連する理論的拡張を明記して引用することで、再現性と適切な出典表記を確保する。

提案手法

• DDEの正確な数値解法のために、区分的多項式近似と適応的メッシュ選択を用いたコロケーション法を採用する。
• 平衡解および周期軌道の解分岐をパラメータ変動に沿って追跡するため、疑似弧長続行法を用いる。
• 安定性解析のため、右側の特徴方程式の右側の根およびフロケット乗数を数値的に計算する。
• 収束性と精度を向上させるために、右辺および遅れ（状態依存の場合）のヤコビ行列を実装する。
• モジュラー設計により外部続行フレームワークと統合し、正規形計算や対称性処理などの拡張を可能にする。
• 関数ハンドルおよび構造化されたデータ型を用いて、問題定義、点、分岐に対してユーザー定義のシステム構造をサポートする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数遅れおよび状態依存遅れを有する遅れ微分方程式に、数値的分岐解析を効果的かつ的確に適用する方法は何か？
• RQ2 DDEにおける安定性および周期的解の計算を、ロバストで高精度に保証する数値的手法は何か？
• RQ3 ホフ分岐および一般化ホフ分岐などの二次分岐を、正規形係数を用いて検出・解析するにはどうすればよいか？
• RQ4 DDEの解析における計算的課題は何か、そして適応的メッシュ選択とヤコビ行列の使用によってどのように緩和できるか？
• RQ5 DDEシステムにおける対称性および回転不変性を活用して、相対的平衡解および周期軌道を計算するにはどうすればよいか？

主な発見

• DDE-BIFTOOLは、コロケーション法と続行法を用いて、定数遅れおよび状態依存遅れを有するDDEの数値分岐解析を効果的にサポートしている。
• ddebiftool_extra_nmfm拡張を用いて、一次分岐（折りたたみ、周期倍分岐、トーラス分岐）および二次分岐（ホフ、一般化ホフ、バウチン）の検出と計算が可能である。
• Kuznetsov、Wage、Bosschaertの理論的研究に基づく拡張を用いて、ホフ分岐および関連する分岐の正規形係数が計算されている。
• 位相オシレーターにおいて、周期性を$2\pi$まで強制する周期的解が、phase_oscillatorデモで示されている。
• 自動ステップ長選択と適応的メッシュ選択により、ロバスト性が向上しているが、数値的感度のため、ユーザーは離散化効果のテストを推奨される。
• 本パッケージはBSD 2-Clauseライセンスのもとでリリースされており、SourceForgeで入手可能であり、バージョン3.1以降では正規形サポートおよび安定性処理の向上が実装されている。