[論文レビュー] De Finettian Logics of Indicative Conditionals

Paul Égré, Lorenzo Rossi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2019

Advanced Algebra and Logic被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、条件文が前件が偽のときに不定となるde Finettiの「欠損」真理表に基づく三値論理を提示する。条件文の妥当性、モーダス・ポンエンス、接続的原則のバランスをとる2つのバリエーション——DF/TTおよびCC/TT——を提案し、非二値枠組みにおける真理条件と主張可能性との間の原則的関係を提供する。

ABSTRACT

This paper explores trivalent truth conditions for indicative conditionals, examining the "defective" table put forward by de Finetti 1936, as well as Reichenbach 1944, first sketched in Reichenbach 1935. On their approach, a conditional takes the value of its consequent whenever its antecedent is True, and the value Indeterminate otherwise. Here we deal with the problem of choosing an adequate notion of validity for this conditional. We show that all standard trivalent schemes are problematic, and highlight two ways out of the predicament: one pairs de Finetti's conditional (DF) with validity as the preservation of non-False values (TT-validity), but at the expense of Modus Ponens; the other modifies de Finetti's table to restore Modus Ponens. In Part I of this paper, we present both alternatives, with specific attention to a variant of de Finetti's table (CC) proposed by Cooper 1968 and Cantwell 2008. In Part II, we give an in-depth treatment of the proof theory of the resulting logics, DF/TT and CC/TT: both are connexive logics, but with significantly different algebraic properties.

研究の動機と目的

• 三値論理における妥当な推論の定義という挑戦に応えること。
• 真理関数的意味論と条件文の主張可能性および推論的役割の調和を図ること。
• モーダス・ポンエンスの保存と妥当性における非偽値保存の間のトレードオフを評価すること。
• 確率的主張可能性と結びつく真理条件を提供する意味論を構築し、物語的含意の落とし穴を回避すること。

提案手法

• de Finettiの「欠損」真理表に基づく三値意味論を提案し、条件文に値1（真）、1/2（不定）、0（偽）を割り当てる。
• 2つの論理体系を導入：DF/TT（de Finettiの条件文にTT妥当性を適用）およびCC/TT（CooperとCantwellが修正した真理表にTT妥当性を適用）。
• TT妥当性（非偽値（1または1/2）の保存）を定義し、三値枠組みにおける論理的帰結を評価する。
• 接続的性質と代数的構造を分析し、両体系が接続的であるが、代数的挙動に相違を示すことを示す。
• 証明論的および代数的手法を用いて、否定や論理和などの論理接続子の挙動を評価する。
• インポート・アンド・エクスポート、物語的含意のパラドックス、否定と条件文の交換性といった主要原則との比較を通じて、体系を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三値論理における指示的条件文に対して、妥当性をどのように意味的に定義できるか？
• RQ2 三値論理がモーダス・ポンエンスを保存しつつ、妥当性の原則的概念を維持できるか？
• RQ3 de Finettiの条件文とCooper-Cantwellの変種との間で、代数的および証明論的差異は何か？
• RQ4 これらの論理は確率的主張可能性および条件文の仮説的解釈とどのように関係するか？
• RQ5 否定や論理和といった他の接続子と組み合わせた際、どのようなトレードオフが生じるか？

主な発見

• DF/TTは帰結において非偽値を保存するが、モーダス・ポンエンスを正当化できないため、推論的強度における主要な制限を示している。
• CC/TT論理はde Finettiの真理表を修正することでモーダス・ポンエンスを回復するが、不定性の意味論的取り扱いを変更する代償を負う。
• DF/TTおよびCC/TTの両体系は接続的論理であり、アリストテレスの定理およびボエティウスの定理といった原則を正当化しており、直感的な条件文推論と強い関係がある。
• 両体系はインポート・アンド・エクスポートの原則を保存し、物語的含意のパラドックスを回避しており、古典的物語的含意の代替としての整合性を支持する。
• Cooperの接続子では代数的課題が生じ、特にラティスに基づく表現において、標準的なmax/min解釈が準論理和および準論理積に適用できない。
• Jeffrey風の条件文と非K3否定を組み合わせる際の構造的トレードオフを同定し、これらの論理がより豊かな接続子系へ拡張する際の制限を示唆している。