[論文レビュー] De-linearizing Linearity: Projective Quantum Axiomatics from Strong Compact Closure

Bob Coecke|ArXiv.org|Jun 16, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ヒルベルト空間の線形性を乗法的（強くコンパクト閉）および加法的（双積）構造に分解することによって、確率的重みと相対位相を分離するカテゴリカルな量子形式を提案する。ヒルベルト＝シュミット内積とトレースが強くコンパクト閉性からカテゴリカルに生じることを示し、対角性および線形性の公理が、完全な確率的構造を備えた位相フリーの射影的量子形式の必要十分条件であることを同定する。

ABSTRACT

Elaborating on our joint work with Abramsky in quant-ph/0402130 we further unravel the linear structure of Hilbert spaces into several constituents. Some prove to be very crucial for particular features of quantum theory while others obstruct the passage to a formalism which is not saturated with physically insignificant global phases. First we show that the bulk of the required linear structure is purely multiplicative, and arises from the strongly compact closed tensor which, besides providing a variety of notions such as scalars, trace, unitarity, self-adjointness and bipartite projectors, also provides Hilbert-Schmidt norm, Hilbert-Schmidt inner-product, and in particular, the preparation-state agreement axiom which enables the passage from a formalism of the vector space kind to a rather projective one, as it was intended in the (in)famous Birkhoff & von Neumann paper. Next we consider additive types which distribute over the tensor, from which measurements can be build, and the correctness proofs of the protocols discussed in quant-ph/0402130 carry over to the resulting weaker setting. A full probabilistic calculus is obtained when the trace is moreover linear and satisfies the \em diagonal axiom, which brings us to a second main result, characterization of the necessary and sufficient additive structure of a both qualitatively and quantitatively effective categorical quantum formalism without redundant global phases. Along the way we show that if in a category a (additive) monoidal tensor distributes over a strongly compact closed tensor, then this category is always enriched in commutative monoids.

研究の動機と目的

• 量子形式におけるグローバル位相の冗長性を解消するため、確率的重みと相対位相を分離すること。
• 双積によって生じる操作的およびカテゴリカルな歪みを回避しながら、完全な確率的構造を保持する射影的量子形式を開発すること。
• グローバル位相の冗長性が存在しない定量的でカテゴリカルな量子力学に必要な最小の加法的構造を同定すること。
• 準備状態一致公理のカテゴリカルな基盤を提供し、ベクトル空間形式から射影的形式への移行を可能にすること。
• 強力なコンパクト閉性と特定の加法的公理の組み合わせが、標準量子力学と同型であるがグローバル位相の重複カウントがない形式を生じることを示すこと。

提案手法

• モノイダルテンソル構造から強力なコンパクト閉性を用いて、カテゴリカルなトレース、ヒルベルト＝シュミット内積、ノルムを導出する。
• ユニットと随伴を用いた標準的トレースの定義：$\mathrm{Tr}(-) = \eta^\dagger_A \circ (1_{A^*} \otimes -) \circ \eta_A $、これはトレース付きモノイダル圏における部分トレースへ一般化可能。
• 準備状態一致公理を適用して、重み付き射影空間から完全な確率的計算へと拡張する。
• 強力なコンパクト閉性と対角性および線形性公理を満たす最小の加法的構造を組み合わせることで、直交ボーン型のSCCC（strongly compact closed category）を定義する。
• 重みのスカラーモノイド $\mathbb{W} = \mathbf{C}(\mathrm{I}, \mathrm{I})$ と相対位相の $\mathbb{X} = \mathbf{C}(\mathrm{I}, \mathrm{I} \oplus \mathrm{I})$ を区別し、$\phi^\dagger \circ \psi : \mathbb{X}^2 \to \mathbb{W}$ を介した相互作用を定義する。
• トレースが線形であり、対角公理を満たす場合、その結果として得られる圏は、冗長なグローバル位相の重複を除き、完全な量子確率をサポートする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバル位相の冗長性が存在しない完全な確率的量子形式を回復するために必要な最小の加法的構造は何か？
• RQ2 強力なコンパクト閉性から、ヒルベルト＝シュミット内積とトレースをカテゴリカルにどのように導出できるか？
• RQ3 準備状態一致公理は、どのようにしてベクトル空間形式から射影的量子形式へと移行を可能にするか？
• RQ4 カテゴリカルな量子枠組みにおいて、確率的重みと相対位相をどのように形式的に分離できるか？
• RQ5 トレースに課されるどのような条件が、線形性と対角公理を両立させ、完全に定量的かつ射影的な量子形式をもたらすか？

主な発見

• ヒルベルト＝シュミット内積とノルムは、完全なベクトル空間の線形性を要件とせず、強力なコンパクト閉性から導出可能である。
• ユニットと随伴から導かれる標準的カテゴリカルトレースは、ヤンキング公理を満たし、コンパクト閉圏におけるその役割を裏付ける。
• 対角公理とトレースの線形性が組み合わさると、グローバル位相の重複カウントを避けて完全な量子確率をサポートする形式が得られる。
• 準備状態一致公理は、重み付き射影形式を完全な確率的形式へと拡張するために、必要かつ十分である。
• 双積構造を介した $\mathbb{W}$（重み）と $\mathbb{X}$（相対位相）の分離により、確率的振幅と位相情報の間の明確なカテゴリカルな区別が可能になる。
• 加法的構造がテンソル積に対して分配的であり、トレースが線形かつ対角公理を満たす場合、得られる圏は直交ボーン型のSCCC（ortho-Bornian SCCC）となり、最小限の射影的かつ定量的な量子形式を提供する。