[論文レビュー] de Rham and Dolbeault Cohomology of solvmanifolds with local systems

Hisashi Kasuya|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、可解群の局所系を備えたde Rhamコホモロジーと、その可解群の特徴（character）によってねじれたLie代数コホモロジー群の直和の間の一般化された同型を確立する。nilradical上での特徴が消える平坦な線束を用いることで、標準的な同型が成り立たない場合でも、有限次元の複体を明示的に構成し、de Rhamコホモロジーを計算可能にする。これは、nilmanifoldにおける古典的結果を、de RhamおよびDolbeaultコホモロジーの両方において可解群に拡張するものである。

ABSTRACT

Let $G$ be a simply connected solvable Lie group with a lattice $Γ$ and the Lie algebra $\g$ and a representation $ρ:G o GL(V_ρ)$ whose restriction on the nilradical is unipotent. Consider the flat bundle $E_ρ$ given by $ρ$. By using "many" characters $\{α\}$ of $G$ and "many" flat line bundles $\{E_α\}$ over $G/Γ$, we show that an isomorphism \[\bigoplus_{\{α\}} H^{\ast}(\g, V_α\otimes V_ρ)\cong \bigoplus_{\{E_α\}} H^{\ast}(G/Γ, E_α\otimes E_ρ)\] holds. This isomorphism is a generalization of the well-known fact:"If $G$ is nilpotent and $ρ$ is unipotent then, the isomorphism $H^{\ast}(\g, V_ρ)\cong H^{\ast}(G/Γ, E_ρ)$ holds". By this result, we construct an explicit finite dimensional cochain complex which compute the cohomology $H^{\ast}(G/Γ, E_ρ)$ of solvmanifolds even if the isomorphism $H^{\ast}(\g, V_ρ)\cong H^{\ast}(G/Γ, E_ρ)$ does not hold. For Dolbeault cohomology of complex parallelizable solvmanifolds, we also prove an analogue of the above isomorphism result which is a generalization of computations of Dolbeault cohomology of complex parallelizable nilmanifolds. By this isomorphism, we construct an explicit finite dimensional cochain complex which compute the Dolbeault cohomology of complex parallelizable solvmanifolds.

研究の動機と目的

• nilmanifoldで成り立つ古典的同型 $ H^*(\frak{g}, V_\rho) \cong H^*(G/\Gamma, E_\rho) $ を、一般には成り立たない可解群への拡張すること。
• 標準的なLie代数コホモロジー同型が成り立たない場合でも、可解群の局所系を備えたde Rhamコホモロジーを計算する明示的な有限次元コチェイン複体の構成。
• 複素平行化可能なnilmanifoldにおけるDolbeaultコホモロジーの計算を、類似の特徴に基づく同型を用いて、複素平行化可能な可解群に一般化すること。
• 可解群 $ G/\Gamma $ 上の特徴と平坦な線束の構造を活用して、可解群におけるコホモロジーを体系的に計算する手法の提供。

提案手法

• 可解群 $ G $ から $ \mathbb{C}^* $ への特徴 $ \alpha: G \to \mathbb{C}^* $ で、nilradical $ N $ 上で自明であるものの集合 $ \mathcal{A}_{(G,N)} $ を導入し、これにより $ G/\Gamma $ 上の平坦な線束 $ E_\alpha $ を構成する。
• Lie代数コチェイン複体の直和 $ \bigoplus_{\alpha \in \mathcal{A}_{(G,N)}} \bigwedge \frak{g}^* \otimes V_\alpha \otimes V_\rho $ を構成し、これが $ G/\Gamma $ 上の $ E_\alpha \otimes E_\rho $ に係数をとるコホモロジーを計算することを示す。
• 左不変形式のde Rham複体への自然な包含写像を用いて、コホモロジー同型 $ \bigoplus_{\alpha} H^*(\frak{g}, V_\alpha \otimes V_\rho) \cong \bigoplus_{E_\alpha} H^*(G/\Gamma, E_\alpha \otimes E_\rho) $ を誘導する。
• 正則特徴と反正則表現を考慮することで、Dolbeaultコホモロジーに対しても同様の枠組みを適用し、$ \bigwedge \mathbb{C}^{\dim G} \otimes H^*(\frak{g}, V_\sigma) \cong H^{*,*}_{\bar{\partial}}(G/\Gamma, L_{\bar{\sigma}}) $ を含む同型を得る。
• 複素構造 $ C $ の作用を用いて、複体 $ (\bigoplus_{\alpha} \bigwedge \frak{g}^* \otimes V_\alpha \otimes V_\rho)^{\Phi(C)} $ をねじらせる。この複体は、有限次元部分複体を介してコホモロジーを計算する。
• 具体的な例（例えば $ \mathbb{C} \ltimes_{\phi} \mathbb{C}^2 $）を分析し、$ \dim H^1(G/\Gamma, E_{\rm Ad}) $ が格子の選択に依存することを示す。$ b,d \in \pi\mathbb{Z} $ のとき6となり、それ以外では2となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 nilmanifoldで成り立つ古典的同型 $ H^*(\frak{g}, V_\rho) \cong H^*(G/\Gamma, E_\rho) $ は、一般には成り立たない可解群に対しても一般化可能か？
• RQ2 標準的なLie代数コホモロジー同型が成り立たない場合でも、可解群の局所系を備えたde Rhamコホモロジーを計算する有限次元複体が存在するか？
• RQ3 特徴と平坦な線束を用いて、複素平行化可能な可解群のDolbeaultコホモロジーを、ノルムの場合の一般化により計算可能か？
• RQ4 特にトーラルでない場合に、可解群の局所系を備えたコホモロジーは、格子の選択にどのように依存するか？
• RQ5 Dolbeaultコホモロジーが $ \bigwedge \mathbb{C}^{\dim G} \otimes H^*(\frak{g}) $ に同型となるための格子に関する条件は何か？

主な発見

• 可解群において、$ \rho|_N $ がユニポテンであるとき、同型 $ \bigoplus_{\alpha \in \mathcal{A}_{(G,N)}} H^*(\frak{g}, V_\alpha \otimes V_\rho) \cong \bigoplus_{E_\alpha \in \mathcal{A}_{(G,N)}(\Gamma)} H^*(G/\Gamma, E_\alpha \otimes E_\rho) $ が成り立つ。
• この同型により、$ H^*(\frak{g}, V_\rho) \cong H^*(G/\Gamma, E_\rho) $ が成り立たない場合でも、$ H^*(G/\Gamma, E_\rho) $ を計算する有限次元コチェイン複体が得られる。
• 複素平行化可能な可解群のDolbeaultコホモロジーに関しては、類似の条件下で同型 $ \bigwedge \mathbb{C}^{\dim G} \otimes H^*(\frak{g}, V_\sigma) \cong H^{*,*}_{\bar{\partial}}(G/\Gamma, L_{\bar{\sigma}}) $ が成り立つ。
• 例 $ G = \mathbb{C} \ltimes_{\phi} \mathbb{C}^2 $ において、$ b,d \in \pi\mathbb{Z} $ ならば $ \dim H^1(G/\Gamma, E_{\rm Ad}) = 6 $ であるが、それ以外では2に低下する。
• Dolbeaultコホモロジー $ H^{*,*}_{\bar{\partial}}(G/\Gamma) $ は、$ b \not\in \pi\mathbb{Z} $ または $ d \not\in \pi\mathbb{Z} $ ならば $ \bigwedge \mathbb{C}^3 \otimes H^*(\frak{g}) $ に同型であり、両方 $ b,d \in \pi\mathbb{Z} $ ならば $ \bigwedge \mathbb{C}^3 \otimes \bigwedge \mathbb{C}^3 $ に同型である。