[論文レビュー] De Rham cohomology of diffeological spaces and foliations

G. Hector, E. Macías–Virgós+1 more|ArXiv.org|Mar 16, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、foliated manifold $(M,\mathcal{F})$ の基本的類似コホモロジーとその微分可能的葉空間 $M/\mathcal{F}$ のデ・ラームコホモロジーの間に、標準的な同型写像が確立されている。すなわち、$H^*_{b}(M,\mathcal{F}) \cong H^*(M/\mathcal{F})$ が成り立つ。この同型は、コンパクト多様体上のリーおよびリーマン的foliationに対して、基本的類似コホモロジーの位相的不変性を示す、新たな洗練された証明を可能にする。

ABSTRACT

Let $(M,\mathcal{F})$ be a foliated manifold. We prove that there is a canonical isomorphism between the complex of base-like forms $Ω^*_b(M,\mathcal{F})$ of the foliation and the "De Rham complex" of the space of leaves $M/\mathcal{F}$ when considered as a "diffeological" quotient. Consequently, the two corresponding cohomology groups $H^*_b(M,\mathcal{F})$ and $H^*(M/\mathcal{F})$ are isomorphic.

研究の動機と目的

• foliated manifold の基本的類似コホモロジー $H^*_{b}(M,\mathcal{F})$ とその微分可能的葉空間 $M/\mathcal{F}$ のデ・ラームコホモロジー $H^*(M/\mathcal{F})$ の間の標準的同型写像を確立すること。
• 環境多様体からの商微分可能構造を用いて、特に商空間 $M/\mathcal{F}$ を含む微分可能空間へのデ・ラームコホモロジーの枠組みを拡張すること。
• コンパクト多様体上のリーfoliationに対して、基本的類似コホモロジーの位相的不変性を示す、新たな明快な証明を提供すること。
• 標準的な代数的トポロジー技法を用いて、この不変性をリーマン的foliationに一般化すること。
• 葉空間 $M/\mathcal{F}$ が商微分可能構造を備える場合、その上に、$M$ 上の基本的類似形式の複体と同型なデ・ラーム複体が構成可能であることを示すこと。

提案手法

• 多様体 $M$ の滑らかさ構造によって誘導される商微分可能構造を用いて、葉空間 $M/\mathcal{F}$ に微分可能構造を定義する。
• プロットを介した滑らかな形式の引き戻しを用いて、微分可能空間 $M/\mathcal{F}$ 上にデ・ラーム複体を構成する。
• 基本的類似形式の複体 $\Omega^*_{b}(M,\mathcal{F})$ とデ・ラーム複体 $\Omega^*(M/\mathcal{F})$ の間の標準的同型写像を確立する。
• リーfoliationの場合、葉空間 $M/\mathcal{F}$ がリー群 $G$ と離散部分群 $\Gamma$ に対して $G/\Gamma$ に微分同相であることを用いる。
• 商 $G/\Gamma$ の滑らかさ構造と、葉空間写像の等長性を活用して、誘導された写像の滑らかさを証明する。
• 特にモリーノの構造理論を用いたリー群論および代数的トポロジーの結果を応用し、不変性の結果をリーマン的foliationに拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基本的類似コホモロジー $H^*_{b}(M,\mathcal{F})$ と微分可能的葉空間のデ・ラームコホモロジー $H^*(M/\mathcal{F})$ の間に、標準的同型写像が存在するか？
• RQ2 リーfoliationの基本的類似コホモロジーの位相的不変性は、微分可能的コホモロジー枠組みから導けるか？
• RQ3 微分可能的構造 $M/\mathcal{F}$ は、foliation の標準的幾何的不変量とどのように関係しているか？
• RQ4 微分可能空間のデ・ラームコホモロジーが、基本的類似コホモロジーのような古典的不変量をどれほど正確に回復できるか？
• RQ5 微分可能空間としての葉空間 $M/\mathcal{F}$ は、十分な幾何的情報を保持しており、位相的同値性に関してfoliationを分類可能か？

主な発見

• 基本的類似形式の複体 $\Omega^*_{b}(M,\mathcal{F})$ と微分可能的葉空間のデ・ラーム複体 $\Omega^*(M/\mathcal{F})$ の間に、標準的同型写像が存在する。
• 基本的類似コホモロジー $H^*_{b}(M,\mathcal{F})$ は、微分可能的商 $M/\mathcal{F}$ のデ・ラームコホモロジー $H^*(M/\mathcal{F})$ と同型である。
• 商微分可能構造を備えた葉空間 $M/\mathcal{F}$ は、古典的基底的類似コホモロジーを回復できるデ・ラームコホモロジー理論を支持する。
• 最小リーfoliationの場合、葉空間 $M/\mathcal{F}$ は、単連結リー群 $G$ と離散部分群 $\Gamma$ に対して $G/\Gamma$ に微分同相である。
• 2つの最小リーfoliationの間のfoliatedホメオモルフィズムは、それらの葉空間の $C^0$-微分可能同型写像を誘導するが、これは必然的に滑らかである。
• リーマン的foliationの基本的類似コホモロジーの位相的不変性は、同型写像と標準的な代数的トポロジー技法の結果として導かれる。