[論文レビュー] De Rham-Kodaira's Theorem and Dual Gauge Transformations

Hisashi Echigoya, Tadashi Miyazaki|ArXiv.org|Nov 29, 2000

Mathematics and Applications参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、de Rham-Kodaira分解定理を用いて、コンpaktoなリーマン多様体上のq-形式場の一般化された場理論的作用を提案する。この定理により、微分形式は調和形式、d境界形式、δ境界形式に直交分解される。この枠組みにより、曲がった時空上での電磁気学と磁気モノポール源を含む一般化されたマクスウェル方程式が自然に得られ、δ境界q-形式のための双対ゲージ変換が導入され、電磁気学、p-膜、高スピン場の統一的記述が任意次元で可能になる。

ABSTRACT

A general action is proposed for the fields of $q$-dimensional differential form over the compact Riemannian manifold of arbitrary dimensions. Mathematical tools are based on the well-known de Rham-Kodaira decomposing theorem on harmonic integral. A field-theoretic action for strings, $p$-branes and high-spin fields is naturally derived. We also have, naturally, the generalized Maxwell equations with an electromagnetic and monopole current on a curved space-time. A new type of gauge transformations ({\it dual} gauge transformations) plays an essential role for coboundary $q$-forms.

研究の動機と目的

• 調和積分論を用いて、コンパクトなリーマン多様体上でのq-形式場の統一的場理論的枠組みを構築すること。
• 電気的および磁気的モノポール源を含む、任意次元の曲がった時空上でのマクスウェル方程式の一般化を達成すること。
• δ境界q-形式のための特異な双対ゲージ変換という、新たなゲージ対称性の導入と形式的定式化。
• 単一の幾何学的作用原理から、ストリング、p-膜、高スピン場を一貫して記述可能な場理論を導出すること。
• 4次元時空上での物質場と通常の（d境界）および双対的（δ境界）ゲージ場とのゲージ不変な結合を構築すること。

提案手法

• de Rham-Kodaira分解定理を用いて、任意のq-形式を直交する3つの成分に分解する：調和形式、d境界形式、δ境界形式。
• 一般的作用 $ S = \big(F^{(q)}, F^{(q)}\big) = \bigint_{\bar{M}^m} F^{(q)} \wedge *F^{(q)} $ を構築し、ここで $*$ はホッジスター作用素であり、ローレンツ不変かつ正定値な作用形式が得られる。
• ホッジスター作用素を用いてq-形式と(m−q)-形式を関連づけ、正規直交基底における共役運動量およびラグランジアン密度の定義を可能にする。
• nilpotentなコブアンドリューベィング作用素 $\delta$ を用いて双対ゲージ変換を導入し、δ境界q-形式に作用する。これは通常のU(1)ゲージ対称性を一般化する。
• 変分法を用いて作用から運動方程式を導出し、通常の変換および双対変換の両方に対してゲージ不変性を保証する。
• 物質場とゲージ場の結合系を構築し、全ラグランジアン密度 $ \mathcal{L}_{\text{tot}} = \mathcal{L}^{(m-2)}_{\text{gauge}} + \mathcal{L}_{\text{matter}} $ を得る。このラグランジアンは双対ゲージ対称性に対して不変である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 調和積分論を用いて、コンパクトなリーマン多様体上でのq-形式場の統一的場理論をどのように構築できるか？
• RQ2 δ境界形式は、磁気モノポールを含むマクスウェル理論への拡張において、幾何学的・物理的役割を果たすか？
• RQ3 nilpotent性を持つ $\delta$ から生じる双対ゲージ変換は、q-形式場の通常のU(1)ゲージ対称性をどのように一般化するか？
• RQ4 q-形式形式化は、ストリング、p-膜、高スピン場をどのように自然に異なる場の配置として統合するか？
• RQ5 4次元時空上での物質場とd境界およびδ境界ゲージ場との間に、一貫性がありゲージ不変な結合を構築できるか？

主な発見

• 作用 $ S = \int_{\bar{M}^m} F^{(q)} \wedge *F^{(q)} $ は、コンパクト多様体上でのq-形式に対して正定値かつローレンツ不変な場理論をもたらす。
• de Rham-Kodaira分解により、任意のq-形式は調和形式、d境界形式、δ境界形式に分解され、d境界形式が電磁場に対応し、δ境界形式が磁気モノポール場に対応する。
• nilpotentな $\delta$ 演算子から生成される双対ゲージ変換は、δ境界q-形式のための新たな対称性を提供し、通常のゲージ対称性とは異なる。
• q = m-2 のとき、物質場（$ \nabla_i \phi^A $ を通じて）とd境界およびδ境界ゲージ場との間に一貫した結合が可能となり、双対ゲージ不変性が保たれる。
• 4次元時空（m=4, q=2）では、電磁場、双対ゲージ場、物質場がすべてゲージ不変ラグランジアンによって結合された完全に一貫した理論が得られる。
• ゲージ場および物質場の運動方程式が導出され、標準的および双対的ゲージ変換の両方に対して不変であることが示され、対称性構造の一貫性が確認された。