[論文レビュー] De Rham model for string topology

Sergei Merkulov|ArXiv.org|Sep 2, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、Chenの反復積分を用いて、ストリングトポロジーのde Rhamモデルを確立し、Chas-Sullivan積を微分的可換代数の導来圏におけるYoneda積として幾何的に明確に導出する。Chenのベースドループ空間ホモロジーのモデルを「ブレーン」設定に一般化し、 twisted dg代数を通じて自由ループ空間ホモロジーとHochschildコホモロジーの明示的同型を構成する。

ABSTRACT

A De Rham model for string topology based on the theory of iterated integrals is presented.

研究の動機と目的

• 単連結な閉じた向き付け可能多様体の自由ループ空間におけるストリングトポロジー作用素の幾何的かつ計算に適したde Rhamモデルを提供すること。
• 反復積分を用いて、$Λ_M$-bimoduleの導来圏におけるYoneda積とChas-Sullivan積の同型を再導出すること。
• Chenのベースドループ空間ホモロジーのモデルを、写像$f:Z\to M$の状況に一般化し、引き戻しループ空間$L_f$のストリングトポロジー代数のde Rhamモデルを構成すること。
• $L_f$の特異的チェーン複体と、$Z$のde Rham代数と$M$の非還元ホモロジーのテンソル代数との間のtwistedテンソル積の間の quasi-isomorphism を確立すること。
• Chas-Sullivan積$\mathbf{H}_\bullet(L_f)$が、twisted dg代数$\Lambda_Z \otimes \mathbb{R}\langle X\rangle$のコホモロジーにおけるHochschild積に対応することを示すこと。

提案手法

• Chenの反復積分理論を用いて、$L_f$上の特異的チェーンから$\Lambda_Z$に値をとるコチェーンへのホロノミー写像を構成する。
• 形式的べき級数接続を用いて、有限次元コホモロジーをもつdg代数のHochschildコホモロジーをモデル化する。
• $\Lambda_Z \otimes \mathbb{R}\langle X\rangle$に、Chenの微分$\eth$を一般化する twisted 微分$d_f = d + \eth + \text{terms from } f^*\omega$ を導入する。
• ホロノミー写像を介して、$L_f$の特異的チェーン複体と複体$\left(\Lambda_Z \otimes \mathbb{R}\langle X\rangle, d_f\right)$との間の quasi-isomorphism を確立する。
• 写像$f$による接続形式$\omega$の引き戻しを用いて、$d_{f^*\omega}$を定義し、これがストリングトポロジー作用素をモデル化する。
• 得られたコホモロジー上の代数構造が、HochschildコホモロジーとHochschild積に関して、次数$-p$の quasi-isomorphism を通じて同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由ループ空間$LM$のシフトホモロジーにおけるChas-Sullivan積は、幾何的手法を用いて、$\Lambda_M$-bimoduleの導来圏におけるYoneda積と自然に同一視可能か？
• RQ2 Chenのベースドループ空間$\Omega M$のホモロジーのモデルは、写像$f:Z\to M$の状況にどのように一般化可能か？ これにより、$\mathbf{H}_\bullet(L_f)$のde Rhamモデルが得られるか？
• RQ3 微分$d_f$をもつtwisted dg代数$\Lambda_Z \otimes \mathbb{R}\langle X\rangle$のコホモロジーの正確な代数的構造は何か？ そして、ストリングトポロジーとどのように関係するか？
• RQ4 写像$f$による接続形式$\omega$の引き戻しは、どのように$\Lambda_Z \otimes \mathbb{R}\langle X\rangle$上のtwisted微分を定義し、$L_f$上のストリングトポロジー積をモデル化するか？
• RQ5 特異的チェーン複体$C_\bullet(L_f)$と複体$\left(\Lambda_Z \otimes \mathbb{R}\langle X\rangle, d_f\right)$との間に、代数的構造を尊重する幾何的に意味のある quasi-isomorphism が存在するか？

主な発見

• 同型$\left(\mathbf{H}_\bullet(LM), \Cap\right) \cong \mathrm{Ext}^{\bullet}_{\Lambda_M \otimes \Lambda_M^{\circ}}(\Lambda_M, \Lambda_M)$は、反復積分に伴うホロノミー写像によって幾何的に実現される。
• Chas-Sullivan積$\mathbf{H}_\bullet(L_f)$は、$H^\bullet(\Lambda_Z \otimes \mathbb{R}\langle X\rangle, d_f)$におけるHochschild積と同型であり、新しい計算モデルを提供する。
• $f: \text{point} \to M$の場合、モデルはChenの元来の結果を回復する：$H_\bullet(\Omega M) \cong H^\bullet(\mathbb{R}\langle X\rangle, \eth)$、ここで$\eth$は反復手続きにより計算可能である。
• $f: \mathbb{C}\mathbb{P}^m \to \mathbb{C}\mathbb{P}^n$（$m < n$）の場合、代数$\mathbf{H}_\bullet(L_f)$は$\mathbb{R}[h, x, \nu]/(h^{m+1})$と同型であり、$|h|=2$, $|x|=-1$, $|\nu|=-2n$、$\nu$は$\sum_{i+j=n+1} 1 \otimes x_i x_j$に対応する。
• 交差写像$\cap_{[L_f]}: \mathbf{H}_\bullet(LM) \to \mathbf{H}_\bullet(L_f)$は、同型のもとで、引き戻し写像$f^*: H^\bullet(\Lambda_M \otimes \mathbb{R}\langle X\rangle, d_\omega) \to H^\bullet(\Lambda_Z \otimes \mathbb{R}\langle X\rangle, d_{f^*\omega})$に対応し、生成子への作用は明示的に：$h \mapsto h$, $\nu \mapsto \nu$, $\mu \mapsto h x$。
• $\mathbf{Hol}: C_\bullet(L_f) \to \Lambda_Z \otimes \mathbb{R}\langle X\rangle$は、コホモロジーに同型を誘導する複体の準同型であり、ストリングトポロジー代数をtwisted dg代数のコホモロジーとして実現する。