[論文レビュー] De seriebus divergentibus

Leonhard Euler, Artur Diener+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2012

History and Theory of Mathematics被引用数 51

ひとこと要約

18世紀の紀元的業績として、オイラーは発散級数の和を考察し、1 - 1 + 1 - 1 + ... や 1 - 2 + 3 - 4 + ... といった特定の発散級数に対して、解析接続および連分数表現を用いて有限で意味のある値を割り当てることを提唱した。オイラーは、これらの値が古典的な意味での収束とは言えずとも、代数的変形、級数展開、連分数を用いることで一貫して導出可能であることを示し、発散級数に和を割り当てる基礎的アプローチを確立した。

ABSTRACT

Euler gives a long introduction, giving all the arguments for and against the use of divergent series in calculus and then gives his own definition of the sum of a diverging series. Then in the second half of this paper he evaluates the the 1-1+2-6+24-120+720-... on several ways and gets the sum 0.5963473621372. The paper is translated from Euler's Latin original into German.

研究の動機と目的

• 発散級数に有限で意味のある和を割り当てられるかどうかという長年の数学的論争を解決すること。
• 特に振動的または無限に発散する項を持つ級数に対して、その値を割り当てるための厳密な根拠を提供すること。
• 代数的変形、級数展開、連分数を用いて、発散級数を体系的に分析できることを示すこと。
• 急速に増大する項を持つ発散級数でさえ、母関数の形式的変形により有限値と関連付けることができることを示すこと。
• 発散級数に対して一貫した値をもたらす収束する表現（例：連分数）を導出するための方法を確立すること。

提案手法

• 幾何級数展開 $ \frac{1}{1+a} = 1 - a + a^2 - a^3 + \cdots $ を用い、$ a = 1 $ を代入することで、発散級数 $ 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots $ を分析し、和 $ \frac{1}{2} $ を得る。
• 対称的部分和の概念を適用：偶数項の和は 0、奇数項の和は 1 であるため、平均値 $ \frac{1}{2} $ を和として採用する。
• 連分数を発散級数の収束的表現として導入し、たとえば $ z = \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{2}{1 + \cdots}}} $ のように、有限値に収束する形をとる。
• 微分方程式 $ x^m dx = x^{q+1} dz + (p-m)x^q z dx + z dx $ を導出し、その解を無限級数および連分数の両形式で表現する。
• $ b=1, f=1, m+a=p, m-n=q $ と置き換えることで微分方程式を標準形に変換し、解を $ z = x^m - p x^{m+q} + p(p+q)x^{m+2q} - \cdots $ に簡略化する。
• 指数積分を含む積分表現、たとえば $ z = e^{1/(2x^2)} x^{-1} \int e^{-1/(2x^2)} dx $ を用い、発散級数の解を収束する積分で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 発散級数 $ 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots $ に有限の和を割り当てることは可能か？ もしそうなら、その根拠は何か？
• RQ2 振動的挙動を示すにもかかわらず、グランドイ級数 $ 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots $ に値 $ \frac{1}{2} $ を割り当てる数学的根拠は何か？
• RQ3 無限に発散する項を持つ発散級数、たとえば $ 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots $ に対して、母関数の形式的変形により有限値を割り当てることは可能か？
• RQ4 発散級数を収束する連分数または積分形式で一貫して表現する方法は存在するか？
• RQ5 解析的手法を用いて、$ 1 - 2 + 3 - 4 + \cdots $ のような発散級数を体系的に分析し、有限の値に割り当てる方法は何か？

主な発見

• 発散級数 $ 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots $ は、対称的部分和および幾何級数の解析接続に基づき、和 $ \frac{1}{2} $ に割り当てられる。
• 級数 $ 1 - 2 + 3 - 4 + \cdots $ は、連分数 $ \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{2}{1 + \cdots}}} $ を用いて解釈すると $ \frac{1}{4} $ に収束し、近似値として $ 0.65568 $ を得る。
• 級数 $ z = x - x^3 + 3x^5 - 15x^7 + \cdots $ において $ x = 1 $ のとき、値は約 $ 0.65568 $ となる。これは連分数 $ \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{2}{1 + \cdots}}} $ から導出される。
• 連分数表現 $ z = \cfrac{x^m}{1 + \cfrac{p x^q}{1 + \cfrac{q x^q}{1 + \cdots}}} $ は、発散級数 $ z = x^m - p x^{m+q} + p(p+q)x^{m+2q} - \cdots $ と等価な収束的表現を提供する。
• 微分方程式 $ x^m dx = x^{q+1} dz + (p-m)x^q z dx + z dx $ の解は、発散級数としても、収束する連分数としても表現可能であり、一貫性が確認される。
• 特に $ m=1, p=1, q=2 $ の場合、解 $ z = x - x^3 + 3x^5 - 15x^7 + \cdots $ において $ x=1 $ とすると $ z \approx 0.65568 $ となり、連分数の逐次的有理近似によっても確認される。