[論文レビュー] Deation and Flexible SAP-Preconditioning of GMRES in Lattice QCD Simulation

Andreas Frommer, Andrea Nobile+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2012

Matrix Theory and Algorithms参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、格子QCDシミュレーションに生じる悪条件な連立一次方程式を解くために、定義と乗法的 Schwarz 前処理（SAP）を組み合わせた柔軟な GMRES-DR 法を提案する。再起動における GMRES の収束失敗を防ぐために、再起動間で情報を保持する定義により、標準的な再起動 GMRES が失敗する状況でも収束を達成し、並列アーキテクチャ上でのロバスト性が著しく向上する。

ABSTRACT

The simulation of lattice QCD on massively parallel computers stimulated the development of scalable algorithms for the solution of sparse linear systems. We tackle the problem of the Wilson-Dirac operator inversion by combining a Schwarz alternating procedure (SAP) in multiplicative form with a exible variant of the GMRES-DR algorithm. We show that restarted GMRES is not able to converge when the system is poorly conditioned. By adding deation in the form of the FGMRES-DR algorithm, an important fraction of the information produced by the iterates is kept between successive restarts leading to convergence in cases in which FGMRES stagnates.

研究の動機と目的

• 格子QCDシミュレーションから生じる大規模でスパースかつ悪条件な連立一次方程式を解く際の再起動GMRESの収束不能問題を解決すること。
• 大規模並列コンピュータ上でのウィルソン＝ディラック作用素の逆行列計算のための反復解法のロバスト性を向上させること。
• 乗法的 Schwarz 前処理（SAP）を柔軟な GMRES-DR と組み合わせ、再起動間で有用な情報を保持すること。
• 定義が停滞を防ぎ、標準的な FGMRES が失敗する場合でも収束を可能にすることを実証すること。

提案手法

• システムの条件数を改善するために、乗法的 Schwarz 交互法手順（SAP）を前処理として用いる。
• 反復間に前処理を変更可能な柔軟な GMRES-DR の変種（FGMRES-DR）を適用する。
• 直近のクリロフ部分空間から得られる近似不変部分空間の情報を保持するための定義を実装する。
• クリロフ部分空間基底の変化に適応可能な柔軟な前処理構造を維持する。
• SAP と FGMRES-DR を組み合わせることで、悪条件系における収束特性を向上させる。
• メモリと計算コストを管理しつつ、収束安定性を保持する再起動と定義を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FGMRES-DR に定義を組み合わせることで、格子QCD由来の悪条件連立一次方程式の収束停滞を克服できるか？
• RQ2 SAP と柔軟な GMRES-DR の組み合わせは、標準的な再起動 GMRES と比較して収束をどのように改善するか？
• RQ3 再起動間で定義により情報を保持することは、収束のロバスト性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 柔軟な前処理戦略は、大規模並列アーキテクチャ上でもスケーラビリティを維持できるか？
• RQ5 このアプローチは、標準的手法が失敗する状況でも、格子QCDシミュレーションにおけるウィルソン＝ディラック作用素の逆行列を信頼性高く計算可能か？

主な発見

• 標準的な再起動 GMRES が悪条件のため停滞する系に対しても、FGMRES-DR に定義を適用することで収束が達成された。
• 定義により、直前のクリロフ部分空間からの重要な情報が保持され、再起動に伴う収束進捗の損失が防止された。
• SAP と柔軟な GMRES-DR の組み合わせにより、ウィルソン＝ディラック作用素の逆行列計算に対してロバストかつスケーラブルな解決策が得られた。
• 再起動間でわずかで関連性の高い部分空間のみを保持することで、計算効率が維持された。
• 標準的な反復解法が失敗する困難な格子QCDのシナリオにおいても、本手法が収束を可能にした。