[論文レビュー] Decay and scattering of small solutions of pure power NLS in $\R$ with $p>3$ and with a potential

Scipio Cuccagna, Vladimir Georgiev+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2012

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$3 < p < 5$ および実スワーツ関数 $V$ を持つ線形ポテンシャルを伴う1次元非線形シュレーディンガー方程式の小刻み解について、$V$ が離散スペクトルを持たず、一般の透過係数 $T(0) = 0$ を満たすという仮定の下で、崩壊および散乱を確立する。著者らは、McKeanとShatahの均一ノルムフレームワークを、移動不変でない設定に適応させるために、標準の $|J(t)|^s$ 演算子を模倣する代替演算子 $|J_V(t)|^s$ を構築し、ほぼ不変性を証明することで、$L^\infty$ 崩壊推定 $\|u(t)\|_{L^\infty} \lesssim t^{-1/2}\epsilon$ および $L^2$ における漸近的完全性を導出する。主な貢献は、$p > 3$ および非ゼロポテンシャルを有する摂動NLSに対する散乱理論の拡張である。

ABSTRACT

We prove decay and scattering of solutions of the Nonlinear Schr\"oding-er equation (NLS) in ${\mathbf R}$ with pure power nonlinearity with exponent $3<p<5$ when the initial datum is small in $\Sigma$ (bounded energy and variance), in the presence of a linear inhomogeneity represented by a linear potential which is a real valued Schwarz function. We assume absence of discrete modes. The proof is analogous to the one for the translation invariant equation. In particular we find appropriate operators commuting with the linearization.

研究の動機と目的

• 翻訳不変NLSに対してMcKeanとShatahが得た散乱および崩壊結果を、非ゼロの実スワーツポテンシャル $V$ を持つ場合にまで拡張すること。
• 小解の漸近的挙動を $\Sigma^s$ ノルムにおいて特定すること、特に $L^\infty$ 崩壊率 $t^{-1/2}$ および漸近的完全性を示すこと。
• 非移動不変設定における標準の $|J(t)|^s$ 演算子を一般化する代替演算子 $|J_V(t)|^s$ の構築および解析。
• 非線形発展を制御するために不可欠な、$0 \leq s < 1/2$ に対して $\|f\|_{\dot{H}^s_V} \sim \|f\|_{\dot{H}^s}$ の等価性を証明すること。

提案手法

• 非移動不変設定における標準の $|J(t)|^s$ 演算子の代替として機能する新しいクラスの演算子 $|J_V(t)|^s$ を導入する。
• パレイ＝リトルウッド分解および透過係数 $T(\tau)$ の性質を用いて、$0 \leq s < 1/2$ に対して、均一ソボレフノルム $\|f\|_{\dot{H}^s_V} = \|( -\Delta + V )^{s/2} f\|_{L^2}$ と標準ノルム $\|f\|_{\dot{H}^s} = \|(-\Delta)^{s/2} f\|_{L^2}$ が等価であることを証明する。
• 非移動不変ハミルトニアンに起因する追加の交換子項を制御するためのブートストラップ法を用い、一般性条件 $T(0) = 0$ に依存する。
• 線形化方程式の流れに沿った $|J_V(t)|^s$ ノルムのほぼ不変性を確立し、これが崩壊の証明に不可欠である。
• ノルムの等価性とほぼ不変性を活用して、ソボレフ型埋め込みを介して分散推定 $\|u(t)\|_{L^\infty} \lesssim t^{-1/2} \epsilon$ を導出する。
• 元々波動方程式に開発された不変ノルム法をクライナーマンが考案し、McKeanとShatahがNLSに適応したものを利用し、ポテンシャルを有する摂動NLSに適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純力のNLSに対して $3 < p < 5$ および $V = 0$ の場合に得られた散乱および崩壊結果を、非ゼロの実スワーツポテンシャル $V$ が存在する場合にまで拡張可能か？
• RQ2 ポテンシャル $V$ によって誘発される非移動不変設定において、均一ノルム演算子 $|J(t)|^s$ の適切な代替物は何であるか？
• RQ3 スペクトル条件 $\sigma(-\Delta + V) = (-\infty, 0]$ および一般性条件 $T(0) = 0$ が、小解の漸近的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ4 $V \neq 0$ の場合に、$0 \leq s < 1/2$ に対して $\|f\|_{\dot{H}^s_V} \sim \|f\|_{\dot{H}^s}$ の等価性が依然として成立するか？また、これは非線形項の制御に利用可能か？
• RQ5 標準の分散推定が不十分な状況下でも、ポテンシャルが存在する場合に、小解に対して $L^\infty$ 崩壊率 $t^{-1/2}$ を証明可能か？

主な発見

• $3 < p < 5$ に対して、初期データ $u_0 \in \Sigma^s$ で $\|u_0\|_{\Sigma^s} \leq \epsilon$ かつ $\epsilon$ が十分に小さいとき、ポテンシャル $V$ を持つNLSの解 $u(t)$ は、すべての $t \geq 1$ に対して、$\|u(t)\|_{L^\infty} \leq C_0 t^{-1/2} \epsilon$ という崩壊推定を満たす。ここで $C_0 > 0$ は普遍定数である。
• 解 $u(t)$ は漸近的完全性を満たす：$u_+ \in L^2(\mathbb{R})$ が存在して、$\lim_{t \to \infty} \|u(t) - e^{it\Delta} u_+\|_{L^2} = 0$ が成り立つ。これは散乱状態の存在を示唆する。
• $T(0) = 0$ の仮定の下で、$0 \leq s < 1/2$ に対して $\|f\|_{\dot{H}^s_V} \sim \|f\|_{\dot{H}^s}$ の等価性が成立する。これはノルム比較およびその後続の崩壊推定に不可欠である。
• $|J_V(t)|^s$ の代替演算子の構築により、不変ノルム法が非移動不変ケースに適応可能となり、ライブニッツ則の性質の欠如を克服した。
• 非線形化に起因する交換子項を制御するためのブートストラップ法に依存しており、これは一般性条件 $T(0) = 0$ が成り立つ場合にのみ可能である。
• 焦点が当たらない三次NLS（$p=3$）に対する既知の散乱理論を、$p \in (3,5)$ の範囲でポテンシャルを伴う高次の非線形性にまで拡張した。これは $p \in (3,5)$ の文脈における文献の空白を埋めた。