[論文レビュー] Decay and vanishing of some axially symmetric D-solutions of the Navier-Stokes equations

Bryan Carrillo, Xinghong Pan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 24被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、一般の領域およびR³における3次元定常ナビエ＝ストークス方程式の軸対称D-解について、鋭い事前減衰推定を確立し、速度および渦度の既存の減衰率を改善した。uθおよびuzの平均値がゼロである条件下で、z周期的D-解について消滅結果を証明し、追加の積分的または減衰的仮定なしに、スラブR²×Iにおける軸対称D-解について初めての消滅定理を導出した。これには、Brezis-Gallouetの不等式、グリーン関数の評価、Liouville型の議論が用いられた。

ABSTRACT

We study axially symmetric D-solutions of the 3 dimensional Navier-Stokes equations. The first result is an a priori decay estimate of the velocity for general domains. The second is an a priori decay estimate of the vorticity in $\bR^3$, which improves the corresponding results in the literature. In addition, we prove a similar decay of full 3d solutions except for a small set of angles. Next we turn to D-solutions which are periodic in the third variable and prove vanishing result under a reasonable condition. As a corollary we prove that axially symmetric D-solutions in the slab $\bR^2 imes I$ with suitable boundary condition is $0$. Here $I$ is any finite interval. To the best of our knowledge, this seems to be the first vanishing result on a 3 dimensional D-solution without extra integral or decay or smallness assumption on the solution. The tools used include Brezis-Gallouet inequality, dimension reduction, scaling, Green's function bound and Liouville theorems for Navier-Stokes equations.

研究の動機と目的

• 一般の領域における軸対称D-解の速度および渦度について、事前減衰推定を確立すること。
• 精密な解析を用いて、R³における渦度および速度の既存の減衰率を改善すること。
• uθおよびuzの平均値がゼロである条件下で、z周期的D-解について消滅結果を証明すること。
• この消滅結果を、適切な境界条件を満たすスラブR²×Iにおける軸対称D-解へと拡張すること。小規模性や追加の減衰仮定を必要としない。
• 解にLpや減衰条件を仮定せず、有限のディリクレエネルギーのみに依存してD-解の消滅を証明する、初めてのこのような消滅定理を提供すること。

提案手法

• 点でのノルムをディリクレエネルギーと対数項によって制御するため、Brezis-Gallouetの不等式を用いる。
• スケーリングおよび次元削減技術を適用し、3次元の軸対称問題を2次元に類似した構造に関連付ける。
• R²×S¹およびR³におけるグリーン関数の評価を用いて、速度および渦度の減衰推定を導出する。
• 部分積分およびカットオフ関数を用いて、二重円環領域における速度および渦度の勾配を推定する。
• Liouville型定理および∇wの減衰を用いて、uの1/rより速い減衰を導出し、消滅を示す。
• 偶関数・奇関数の反射を用いて、R²×[0,π]上の解をR²×[−π,π]へと拡張し、周期性および平均値ゼロの条件を満たすようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の領域およびR³における軸対称D-解の速度および渦度について、最適な事前減衰率は何か？
• RQ2 R³において、既存の対数的およびべき乗的境界を超えて、渦度の減衰を改善できるか？
• RQ3 小規模性や積分的仮定がない条件下で、z周期的軸対称D-解が恒等的に消えるのはどのような条件下か？
• RQ4 この消滅結果を、物理的に関連する境界条件を満たすスラブR²×Iにおける軸対称D-解へと拡張できるか？
• RQ5 解にLpや減衰条件を仮定せず、有限のディリクレエネルギーのみに依存してD-解の消滅を証明することは可能か？

主な発見

• 対数発散的ディリクレエネルギーを有するR³における軸対称D-解について、|u(x)| ≤ C₀(ln r)¹ᐟ² / r¹ᐟ²（r ≥ e）の減衰が成り立つ。
• 渦度成分wθは|wθ(x)| ≤ C₀(ln r)³ᐟ⁴ / r⁵ᐟ⁴で減衰し、|wr| + |wz| ≤ C(ln r)¹¹ᐟ⁸ / r⁹ᐟ⁸で減衰する。
• R²×S¹上でのz周期的設定で∫uθdz = ∫uzdz = 0のとき、解uは恒等的にゼロである。
• 境界z=0,πでuθ, uzおよび∂zurがゼロであるスラブR²×[0,π]における軸対称D-解について、解uは恒等的にゼロである。
• |u|の減衰率は、任意のδ>0に対してr⁻³ᐟ²+δより速く、既知のLiouville型定理によりu≡0を示す。
• 本手法は、Kolmogorov型の流れのように無限のディリクレエネルギーを有する解にも適用可能であり、古典的なL²枠組みを超えて拡張される。