[論文レビュー] Decay estimates for Rivière's equation, with applications to regularity and compactness

Ben Sharp, Peter M. Topping|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2011

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ℝ²における単位円板上でのリエヴィルの臨界方程式の解に対して鋭い減衰推定を確立し、調和写像およびほぼ調和写像理論を一般化する。弱解が $L^2$ 接続 $ abla$ が小さい条件下で $p \in (1,2)$ に対して $W^{2,p}_{\text{loc}}$ に属することを証明し、非同次項に $L\ln L$ 範囲の有界性がある場合に $W^{1,2}$ でコンパクト性が成立することを示し、微分幾何学的PDEにおける正則性およびエネルギー集中に関する結果を拡張する。

ABSTRACT

We derive a selection of energy estimates for a generalisation of a critical equation on the unit disc in $\mathbb{R}^2$ introduced by Rivière. Applications include sharp regularity results and compactness theorems which generalise a large amount of previous geometric PDE theory, including some of the theory of harmonic and almost-harmonic maps from surfaces.

研究の動機と目的

• 単位円板 $B_1 \subset \mathbb{R}^2$ におけるリエヴィル方程式 $-\Delta u = \Omega \cdot \nabla u + f$ の解について、$L^p$ 正則性推定を鋭く確立すること。
• 古典的な $W^{2,2}$ および $C^{1,\alpha}$ の範囲を超えて、特に $L^2$ 接続設定下での正則性理論を拡張すること。
• 非同次項 $f$ に対して最小限の積分性仮定が成り立つ場合、解の列のコンパクト性を $W^{1,2}$ で示すこと、具体的には $f \in L\ln L$ の場合。
• $W^{1,2}$ でのエネルギー集中を排除しつつ、高階のノルムでの集中を許容し、そのような振る舞いを $f$ に依存する形で特徴付けること。

提案手法

• 重み付きソボレフ空間およびローレンツ空間の技法を用いて、一般化されたリエヴィル方程式の $L^p$ エネルギー推定を導出する。
• 方程式の非楕円的構造を制御し、$W^{2,p}$ 界を導くために、$\|\Omega\|_{L^2} \leq \eta_0$ の小さな条件を適用する。
• $W^{2,p}$ の制御から、$W^{1,t}$ での前コンパクト性を $t < \frac{2p}{2-p}$ に対してリリッヒ＝コンドラチョフの定理を用いて導出する。
• 新規の吸収補題（補題 A.7）を用いて、振動的挙動を制御し、減衰推定を導出する。
• ラドン測度論を用いて集中現象を分析し、$f_n$ に対して $L\ln L$ 範囲の有界性がコンパクト性を保証する上で鋭いことを示す。
• $BV$ 関数および測度の微分の理論を用いて、$|V_n|^2$ および $|\nabla V_n|$ の極限を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非同次項 $f \in L^p(B_1)$、$p < 2$ で $\|\Omega\|_{L^2}$ が小さいとき、リエヴィル方程式の解に対して $W^{2,p}$ 正則性推定が鋭く確立可能か？
• RQ2 $W^{1,2}(B_{1/2})$ での解列のコンパクト性を保証するのに必要な、非同次項 $f$ の最適積分性は何か？
• RQ3 第二階微分が集中する場合でも、$f_n$ が $L\ln L$ で有界ならばコンパクト性が保たれるか？
• RQ4 $L\ln L$ 範囲はコンパクト性のための鋭い条件か？あるいは $h^1$ のようなより大きな空間に置き換え可能か？

主な発見

• 非同次項 $f \in L^p(B_1)$、$p \in (1,2)$ で $\|\Omega\|_{L^2} \leq \eta_0$ のとき、任意の $U \subset\subset B_1$ に対して $\|u\|_{W^{2,p}(U)} \leq C(\|f\|_{L^p} + \|u\|_{L^1})$ が成り立ち、$W^{2,p}_{\text{loc}}$ 正則性が保証される。
• 解 $u$ はすべての $q < \infty$ に対して $W^{1,q}_{\text{loc}}$ に属し、$f \in L^p$ のとき $C^{0,2(1-1/p)}$ に属する。これはループフリンの結果を回復する。
• 列 $u_n$ に対して $\|\Omega_n\|_{L^2} \leq \eta_2$ および $\|u_n\|_{L^1} + \|f_n\|_{L\ln L} \leq \Lambda$ が成り立つとき、$W^{1,2}(B_{1/2})$ でコンパクト性が成立し、部分列をとることで収束が得られる。
• 非同次項 $f_n$ が $h^1$ で有界である場合、この結果は成り立たない。$L\ln L$ がコンパクト性のための鋭い条件であることを示唆する。
• 非同次項 $ abla$ に小さな条件がないと、推定 (3) は成り立たない。$\|\Omega_k\|_{L^2}$ が有界で $\|u_k\|_{W^{2,p}}$ が無限大に発散するような列によって反例が構成される。
• $\|\nabla^2 u_n\|_{L^1}$ の集中は、$f_n$ が $L\ln L$ で集中する場合にのみ可能であり、高階の集中が非同次項に依存することを示している。