[論文レビュー] Decay of correlations for nonuniformly expanding systems

Sébastien Gouëzel|ArXiv.org|Jan 15, 2004

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、帰着時間の推定とヤングタワーを用いて、非一様に拡張する力学系における相関の減衰率を推定する一般枠組みを確立する。系の非一様性が $ e^{-c\sqrt{n}} $ のように減少する場合、相関の減衰率も同じ伸びた指数的減少率を示すことが証明され、従来の多項式的減衰を超えて、アレス＝ヴィアナ写像のような系に適用可能である。

ABSTRACT

We estimate the speed of decay of correlations for general nonuniformly expanding dynamical systems, using estimates on the time the system takes to become really expanding. Our method can deal with fast decays, such as exponential or stretched exponential. We prove in particular that the correlations of the Alves-Viana map decay in $O(e^{-c \sqrt{n}})$.

研究の動機と目的

• 非一様に拡張する力学系における相関の減衰速度を推定する一般的手法を開発すること。
• ALP02の結果を多項式的減衰を超えて、より速い減少率、特に伸びた指数的減衰へと拡張すること。
• アレス＝ヴィアナ写像が $ O(e^{-c\sqrt{n}}) $ の相関減衰を示すことを、地図固有の解析ではなく一般原理に基づいて確立すること。
• 特異点の制御と臨界集合への再帰の下で、広範な非一様に拡張する写像のクラスに適用可能な枠組みを提供すること。

提案手法

• 点が一様に拡張的になるまでの時間を測る関数 $ h^{1}_{\varepsilon}(x) $ を用い、非一様性を定量化する。
• Lebesgue測度として、$ h^{1}_{\varepsilon}(x) > n $ となる点の測度を制御し、これを相関減衰速度に関連付ける。
• 帰着時間に基づく基底集合への帰着を用いて、抽象的なヤングタワーを構築し、その構造が力学と不変測度を尊重することを保証する。
• ヤング（1999）の結果を応用し、帰着時間分布が伸びた指数的尾を持つ場合の混合性と相関減衰についての結果を活用する。
• 射影写像 $ \pi $ を通じた測度の引き戻しにより、タワー空間からの減衰推定を元の系に戻す。
• 帰着時間分布 $ m(R > n) = O(e^{-cn^{\eta}}) $ で $ \eta < 1 $ が成り立つと、相関が $ O(e^{-c'\sqrt{n}}) $ の速度で減衰することが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 軌道が一様に拡張的になるまでの時間のみを用いて、非一様に拡張する系における相関の減衰を推定できるか？
• RQ2 ALP02の手法は、多項式的減衰を超える速い減少率、例えば伸びた指数的減衰に対しても拡張可能か？
• RQ3 アレス＝ヴィアナ写像の相関減衰の正確な減少率は何か？ これは地図固有の解析ではなく、一般原理から導けるか？
• RQ4 特異点の制御と臨界集合への再帰が、相関減衰率にどのように影響するか？

主な発見

• 帰着時間分布が $ m(R > n) = O(e^{-cn^{\eta}}) $ で $ \eta = \frac{1}{2} $ を満たす場合、ホルダー連続な観測量の相関減衰率は $ O(e^{-c'\sqrt{n}}) $ で抑えられる。
• アレス＝ヴィアナ写像は $ O(e^{-c\sqrt{n}}) $ の相関減衰を示し、以前の予想を裏付け、より広いクラスの系へと結果を拡張する。
• 本手法は、非一様な拡張性、制御された特異点（多項式型）および臨界集合への非指数的再帰を有する系に適用可能である。
• 伸びた指数的帰着時間尾を持つヤングタワーの構築により、測度の投影を通じて元の系においても同じ相関減衰率が得られる。
• 系が吸引子上で位相的混合的である場合、不変測度は一意的であり、減衰率は系全体で一様である。
• 本枠組みは、帰着時間の推定に基づく統一的アプローチにより、多項式的減衰を超える、指数的および伸びた指数的減衰を含むより速い減衰率を許容することで、従来の結果を一般化する。