[論文レビュー] Decay of correlations on towers with non-Holder continuous Jacobian and non-exponential return time

Jérôme Buzzi, Véronique Maume‐Deschamps|arXiv (Cornell University)|May 7, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非 Hölder 継続的ヤコビアンと部分指数的帰還時間を持つタワー系における相関の崩壊に対する部分指数的上界を確立する。錐の収縮技法を拡張することで、相関の崩壊速度が、ヤコビアンの変動と帰還時間統計の両方の崩壊機構のうち遅い方によって支配されることを示し、滑らかさと帰還時間の障害の両方を有する系のための統一的な枠組みを提供する。

ABSTRACT

We establish upper bounds on the rate of decay of correlations of tower systems with summable variation of the Jacobian and integrable return time. That is, we consider situations in which the Jacobian is not Holder and the return time is only subexponentially decaying. We obtain a subexponential bound on the correlations, which is essentially the slowest of the decays of the variation of the Jacobian and of the return time.

研究の動機と目的

• ヤコビアンが Hölder 継続的でなく、かつ帰還時間が部分指数的に減少するタワー系における相関の崩壊速度の分析。
• 先行研究が両方の障害を別々に扱ったのに対し、その制限を克服すること。
• 滑らかさと帰還時間の両方の障害を反映した、相関崩壊の統一的上界の確立。
• 非一様的双曲的系、特に包あがり固定点を有する写像に適用可能な一般枠組みの提供。
• 非滑らかヤコビアンと非指数的帰還時間分布の両方を同時に扱えるように、錐技法の拡張。

提案手法

• Birkhoff の錐と射影的距離を用いて、関数空間上の転送作用素の作用を分析する。
• 動的および帰還時間統計に適合した、変動が制御された関数の錐 $ C_j $ の列を構成する。
• 転送作用素が $ k_j $ 回の反復後に収縮率 $ \gamma_j < 1 $ を持つように定義し、一様ノルムにおける収束を保証する。
• 主な崩壊率として、$ \ell(n) $ を $ k_1 + \cdots + k_{\ell(n)} \leq n $ を満たす最大の添え字とする $ u_n = \prod_{j=2}^{\ell(n)} \gamma_j $ の導出。
• $ k_j $ と $ \gamma_j $ の漸近的解析を用いて、$ \omega_n $ と $ \hat{\nu}(\Delta_n) $ の指数的、伸びた指数的、多項式的崩壊の3つの状態における $ u_n $ の明示的推定。
• 非 Hölder 写像にこの手法を適用し、任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して $ \mathcal{O}(n^{-\min(\alpha, 1/\gamma - \varepsilon) + 1}) $ の相関崩壊が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヤコビアンが非 Hölder であり、かつ帰還時間分布が部分指数的であるタワー系における相関の崩壊速度は何か？
• RQ2 錐技法は、非滑らか性と重尾帰還時間の両方を同時に扱えるように拡張可能か？
• RQ3 ヤコビアンの変動の崩壊速度と帰還時間統計の崩壊速度は、全体の混合速度を決定する上でどのように作用するか？
• RQ4 遅い方の二つの崩壊機構を反映した部分指数的上界を、相関崩壊に対して導出可能か？
• RQ5 非 Hölder 区間写像に包あがり固定点を有する場合、一般枠組みから得られる相関崩壊速度は何か？

主な発見

• 相関の崩壊は、任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して $ \mathcal{O}(n^{-\min(\alpha, \beta - \varepsilon) + 1}) $ で上界づけられる。ここで $ \alpha $ はヤコビアンの変動を制御し、$ \beta $ は帰還時間分布の尾を制御する。
• 多項式的崩壊 $ \omega_n = \mathcal{O}(n^{-\alpha}) $ と $ \hat{\nu}(\Delta_n) = \mathcal{O}(n^{-\beta}) $ の場合、相関崩壊は $ \mathcal{O}(n^{-\min(\alpha - 1, \beta - 1 - \varepsilon)}) $ となる。$ \varepsilon > 0 $ は、手法上の技術的制限によるものである。
• 伸びた指数的崩壊の場合、$ \omega_n = \mathcal{O}(e^{-n^\alpha}) $ と $ \hat{\nu}(\Delta_n) = \mathcal{O}(e^{-n^\beta}) $ ならば、崩壊は $ \mathcal{O}(e^{-n^{\min(\alpha, \beta) - \varepsilon}}) $ となり、二つの崩壊速度の遅い方と一致する。
• 多項式的状況では、収縮係数 $ \gamma_j = \max(1/D, D^{-\gamma/(α-1)}) $ を得る。最終的な崩壊速度は $ \alpha $ と $ \beta $ の相対的な大きさに依存する。
• 包あがり固定点を有する非 Hölder 写像への適用により、相関崩壊速度が $ \mathcal{O}(n^{-\min(\alpha, 1/\gamma - \varepsilon) + 1}) $ となることが得られ、これはこのような系において初めての結果である。
• 上界は観測関数 $ \psi $ の $ L^1 $-ノルムにのみ依存する。これは、非一様的双曲的系における帰還時間の漸近的法則を研究する上で極めて重要である。