[論文レビュー] Decay of Solutions to the Maxwell Equations on Schwarzschild-de Sitter Spacetimes

Jordan Keller|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ブラックホールと宇宙論的ホライズンの間の静的領域におけるシュバルツシルト＝デ・シーターモン時空上でのマクスウェル方程式の解に対して、超多項式的減衰を確立する。微分変換を用いて問題をファッカーイル＝イーパー方程式に還元し、赤方偏移、モラウェッツ、静的乗数を用いたベクトル場法を適用することで、全マクスウェル成分（クーロン型の定常解を含む）に対するエネルギー的および点ごとの減衰推定を得た。

ABSTRACT

In this work, we consider solutions of the Maxwell equations on the Schwarzschild-de Sitter family of black hole spacetimes. We prove that, in the static region bounded by black hole and cosmological horizons, solutions of the Maxwell equations decay to stationary Coulomb solutions at a super-polynomial rate, with decay measured according to ingoing and outgoing null coordinates. Our method employs a differential transformation of Maxwell tensor components to obtain higher-order quantities satisfying a Fackerell-Ipser equation, in the style of Chandrasekhar and the more recent work of Pasqualotto. The analysis of the Fackerell-Ipser equation is accomplished by means of the vector field method, with decay estimates for the higher-order quantities leading to decay estimates for components of the Maxwell tensor.

研究の動機と目的

• ブラックホールと宇宙論的ホライズンの間の静的領域におけるシュバルツシルト＝デ・シーターモン時空上でのマクスウェル場の有界性および減衰推定を確立すること。
• 解が時間の観点から超多項式的レートで定常的なクーロン型配置に減衰することを示すこと、その測定は入射および出射の光円筒座標で行う。
• 複数のホライズンを有する曲がった時空上での線形化マクスウェル方程式を解析するためのフレームワークを、ベクトル場法を用いて構築すること。
• ベクトル場技術を用いたシュバルツシルト＝デ・シーターモン時空の線形安定性を証明するための基礎的段階を提供すること。

提案手法

• チャンドラセカールとパスカルットの手法に従い、微分変換を用いてマクスウェルテンソル成分を、ファッカーイル＝イーパー方程式を満たす高階の量に変換する。
• 赤方偏移、モラウェッツ、静的乗数を用いたベクトル場法をファッカーイル＝イーパー方程式に適用し、エネルギー推定を得る。
• 角運動量キリング場との交換関係とソボレフ埋め込み定理を用いて、マクスウェル成分の点ごとの減衰推定を得る。
• 宇宙論的ホライズンで正則性を保証するために、$\tilde{\alpha}_A = (1-\mu)^{-1}\alpha_A$ のような正規化された光円筒成分を定義する。
• 時刻$\tau$に沿った時空的超曲面上での減衰を測るため、$N$-エネルギー規範$E^N_{\alpha}(\tau)$ および $E^N_{\underline{\alpha}}(\tau)$ を定義する。
• エディントン＝フィンクルスタイン座標$(u,v)$ およびレッジ＝ウイルラ座標$r_*$ を用いて、ホライズンおよび光子球付近の力学的挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュバルツシルト＝デ・シーターモン時空上でのマクスウェル方程式の解は、時間の観点から超多項式的レートでクーロン解に減衰するか？
• RQ2 赤方偏移、モラウェッツ、静的乗数を用いたベクトル場法は、ブラックホールおよび宇宙論的ホライズンを有する時空上でのマクスウェル系に効果的に適用可能か？
• RQ3 ファッカーイル＝イーパー方程式は、マクスウェル系の複雑さを減衰解析に適した形に簡略化する役割を果たすか？
• RQ4 高階のエネルギー推定とソボレフ埋め込みは、マクスウェル成分の点ごとの減衰にどのように寄与するか？
• RQ5 $N$-エネルギー規範で超多項式的減衰を達成するには、初期データにどの程度の正則性条件が必要か？

主な発見

• シュバルツシルト＝デ・シーターモン時空上でのマクスウェル方程式の解は、時間$\tau$に関して超多項式的レートで定常的なクーロン解に減衰する。
• $\alpha$成分の$N$-エネルギーは、$E^N_{\alpha}(\tau) \leq C(M,\Lambda,m) \left(\sum_{(q)\leq 2m} \left(E^N_{\Omega^{(q)}\alpha}(0)+E^N_{\Omega^{(q)}P}(0)\right)\right)(1+\tau)^{-m}$ を満たし、任意の$m$に対して減衰を示す。
• 正規化された成分$\tilde{\alpha}_A$ は宇宙論的ホライズンで正則であり、静的領域全域にわたる一貫性のあるエネルギー推定を可能にする。
• $\rho$ および $\sigma$ の点ごとの減衰推定が確立された：$\sup_{\Sigma_\tau}|\rho - \bar{\rho}| \leq C(M,\Lambda,m) \sqrt{\sum_{(q)\leq m+1} \left(E^N_{\Omega^{(q)}P}(0)+E^N_{\Omega^{(q)}\underline{P}}(0)\right)} (1+\tau)^{-m/2}$。
• $\sigma$ に対しても同様の減衰レートが成り立ち、初期データのエネルギー規範と時間に同一の依存性を示す。
• $m$-次減衰を得るには初期データに$2m$-次正則性が必要であり、これは$m \to \infty$ の極限において超多項式的減衰を意味する。