[論文レビュー] Decentralized Coherent Quantum Control Design for Translation Invariant Linear Quantum Stochastic Networks with Direct Coupling

Arash Kh. Sichani, Igor G. Vladimirov+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2015

Quantum Information and Cryptography参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、直接結合を伴う大規模かつ並進不変性を持つ線形量子確率的ネットワークに対して、空間的フーリエ変換を用いて周波数領域に問題を再定式化することで、分散型で一貫性のある量子制御設計を提案する。熱力学的極限において、重み付き平均二乗性能指標を最小化する安定化コントローラーの1次必要最適性条件を導出する。この際、コスト関数のコントローラー・パラメータに関するフレシェ微分を活用する。

ABSTRACT

This paper is concerned with coherent quantum control design for translation invariant networks of identical quantum stochastic systems subjected to external quantum noise. The network is modelled as an open quantum harmonic oscillator and is governed by a set of linear quantum stochastic differential equations. The dynamic variables of this quantum plant satisfy the canonical commutation relations. Similar large-scale systems can be found, for example, in quantum metamaterials and optical lattices. The problem under consideration is to design a stabilizing decentralized coherent quantum controller in the form of another translation invariant quantum system, directly coupled to the plant, so as to minimize a weighted mean square functional of the dynamic variables of the interconnected networks. We consider this problem in the thermodynamic limit of infinite network size and present first-order necessary conditions for optimality of the controller.

研究の動機と目的

• 線形量子確率的微分方程式（QSDEs）に従う大規模かつ並進不変性を持つ量子ネットワークを制御する安定化・分散型一貫性量子コントローラーを設計すること。
• 熱力学的極限（無限大のネットワークサイズ）において、動的変数の重み付き平均二乗性能関数を最小化すること。
• コントローラーが直接結合された並進不変性を持つ量子系であり、量子コherenCeを維持すること。
• 空間周波数領域における変分法を用いて、コントローラー・パラメータの最適性に関する1次必要条件を導出すること。
• グラミアンや代数的リカッチ方程式に代えてスペクトル密度を用いることで、古典的LQGフレームワークを超えた一貫性量子制御理論を展開すること。

提案手法

• 量子プラントとコントローラーを、周期的境界条件（PBCs）を満たす同一の線形量子確率的系の並進不変ネットワークとしてモデル化する。
• 空間的フーリエ変換（DFT）を用いて、空間的に拡張された系のダイナミクスを周波数領域表現に変換し、解析を簡素化する。
• 性能コストを、複素平面における単位円上での輪郭積分を用いて、動的変数の重み付き平均二乗関数形として定式化する。
• 随伴法を用いて、コントローラー・パラメータ（R2,ε, ω, τ）および結合行列（R~0）に関するコスト関数のフレシェ微分を計算する。
• フレシェ微分を0に設定することで必要最適性条件を導出し、スペクトル密度およびハンケル作用素を含む代数的方程式を得る。
• 代数的ラピュノフ方程式（ALE）とスペクトル因数分解技術を用いて、共分散行列および交差共分散行列をシステム・パラメータの関数として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模かつ並進不変性を持つ量子ネットワークに対して、熱力学的極限における平均二乗性能指標を最小化する分散型一貫性量子コントローラーをどのように設計できるか。
• RQ2 プラントとコントローラーが直接結合されている場合、そのようなコントローラーの最適性に関する1次必要条件は何か。
• RQ3 空間的フーリエ変換を用いることで、周期的境界条件を満たす並進不変ネットワークにおける一貫性量子制御の解析がどのように簡略化されるか。
• RQ4 導出された最適性条件は、古典的LQG制御手法とどのような点で異なるか。特に、グラミアンではなくスペクトル密度に依存している点が顕著である。
• RQ5 導出された最適性条件を用いて、局所的に最適なコントローラーを求める数値アルゴリズムを構築できるか。

主な発見

• 本稿では、ハンケル作用素とスペクトル密度を含む代数的方程式として、分散型一貫性量子コントローラーの1次必要最適性条件を導出する。
• コスト関数のコントローラー結合行列R2,εに関するフレシェ微分は、ハンケル作用素およびコントローラー・パラメータを含む複素関数の留数として表現される。
• プラント-コントローラー結合行列R~0に関する微分は、コントローラーのハミルトニアン、交差共分散、およびシステム行列を含む留数として導出される。
• 最適性条件は、単位円に沿った輪郭積分を用いた空間周波数領域で定式化されており、熱力学的極限における解析を可能にする。
• 結果は、1次元ネットワークを超えて高次元格子へも一般化可能であり、フレームワークを拡張可能である。
• 導出された条件は、勾配に基づく数値最適化に応用可能であり、局所的に最適な安定化コントローラーの探索に利用可能であることが、先行研究との類似性によって示されている。